Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=-x2+4mx（m＞0）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)P（1，m）作直線PB⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)B，作點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C（點(diǎn)B、C不重合），連結(jié)BC，當(dāng)點(diǎn)P、B不重合時(shí)，以BP、BC為邊作矩形PBCQ，設(shè)矩形PBCQ的周長(zhǎng)為l．

（1）當(dāng)m=1時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)BC=時(shí)，求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B下方時(shí)，求l與m之間的函數(shù)關(guān)系．

（4）連結(jié)CP，以CP為直角邊作等腰直角三角形PCM，直接寫出點(diǎn)M落在坐標(biāo)軸上時(shí)m的值．

Answer 1

【答案】(1) （4，0）；(2) y=-x2+x或y=-x2+x．（3）l=-2m+2．（4）m=，m=．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；

（2）根據(jù)BC的長(zhǎng)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值；

（3）根據(jù)周長(zhǎng)公式，可得答案；

（4）利用直線PC的斜率求出直線PE的斜率，并求出直線PE的參數(shù)方程，討論點(diǎn)E在x軸與y軸的情況，并分別求出點(diǎn)E的參數(shù)坐標(biāo)，根據(jù)PC=PE，利用兩點(diǎn)間距離公式求解．此題也可用開(kāi)鎖法進(jìn)行求解．

試題解析：（1）當(dāng)m=1時(shí)，拋物線的解析式為y=-x2+4x．

當(dāng)y=0時(shí)，-x2+4x=0，解得x1=0，x2=4，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；

（2）當(dāng)y=-x2+4mx中x=1時(shí)，y=4m-1，B（1，4m-1）．且拋物線的對(duì)稱軸為x=-=2m．

當(dāng)點(diǎn)B在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，即m＞時(shí)，BC=2（2m-1）=4m-2．

當(dāng)BC=時(shí)，4m-2=．m=，這條拋物線的解析式為y=-x2+x．

當(dāng)BC=時(shí)，2-4m=．m=，這條拋物線的解析式為y=-x2+x．

（3）當(dāng)點(diǎn)B在對(duì)稱軸左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)B的下方，即＜m＜時(shí)，

l=2[2（1-2m）+（4m-1-m）]，l=-2m+2．

（4）分三種情況：P在對(duì)稱軸左側(cè)，P（1，m），B（1，4m-1），C（4m-1，4m-1），

BC=4m-2，BP=3m-1，

①若∠CPQ=90°，PC=PQ，如圖1，

此時(shí)，△CBP≌△PFQ，

∴CB=PF，即4m-2=m，解得m=，

②若∠PCQ=90°，CP=CQ，如圖2，

此時(shí)，△QFP≌△CDQ，

∴DF=CD，即4m-1=4m-1，方程無(wú)解；

∴此種情況不成立．

③如圖3，

B（1，4m-1），P（1，m），C（4m-1，4m-1），

若∠CPQ=90°，PC=PQ，△CBP≌△QFC，

BP=CF，即3m-1=4m-1，解得m=0（舍），

④如圖4，

∠CQP=90°，CQ=CP，

△CBP≌△PFQ，

BP=QF，即4m-1-m=1，解得m=；

⑤如圖5，

∠CQP=90°，CQ=CP，

△CBP≌△PFQ，

BC=PF，即2-4m=m，解得m=；

綜上所述：m=，m=．