Question

如圖直線y=-

1

2

x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A和B，點(diǎn)P（t，0）是x軸上一動點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線AB軸對稱，PQ交AB于點(diǎn)M，作QH⊥x軸于點(diǎn)H．
（1）求tan∠OAB的值；
（2）當(dāng)QH=2時，求P的坐標(biāo)；
（3）連接OQ，是否存在t的值，使△OQH與△APM相似？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長度，再根據(jù)銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式計算即可得解；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB的長度，再根據(jù)∠QPH的正弦等于∠OAB的余弦求出QP的長，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出PM的長，再利用∠OAB的正弦值求出AP的長，再分點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況求出OP的長度，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）分點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出AP的長，再利用∠OAB的正弦值表示出PM，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)表示出PQ，利用∠QPH的正弦表示出QH，余弦表示出PH，從而可以表示出OH，再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似，分兩種情況列式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，則-

1

2

x+2=0，解得x=4，
令x=0，則y=2，
所以，點(diǎn)A（4，0），B（0，2），
所以，OA=4，OB=2，
tan∠OAB=

OB

OA

=

2

4

=

1

2

；

（2）根據(jù)勾股定理，AB=

OA2+OB2

=

42+22

=2

5

，
∵P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線AB軸對稱，
∴∠OAB+∠QPH=90°，
∴sin∠QPH=cos∠OAB=

4

2 5

=

2 5

5

，
cos∠QPH=sin∠OAB=

2

2 5

=

5

5

，
∵QH⊥x軸，QH=2，
∴PQ=QH÷sin∠QPH=2÷

2 5

5

=

5

，
∵P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線AB軸對稱，PQ交AB于點(diǎn)M，
∴PM=

1

2

PQ=

5

2

，
∴AP=PM÷sin∠OAB=

5

2

÷

5

5

=

5

2

，
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時，OP=OA-AP=4-

5

2

=

3

2

，
此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

3

2

，0），
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右邊時，OP=OA+AP=4+

5

2

=

13

2

，
此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

13

2

，0）；
故，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，0）或（

13

2

，0）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），
∴AP=4-t，PM=AP•sin∠OAB=

5

5

（4-t），
∵P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線AB軸對稱，PQ交AB于點(diǎn)M，
∴PQ=2PM=

2 5

5

（4-t），
QH=PQ•sin∠QPH=

2 5

5

（4-t）×

2 5

5

=

16-4t

5

，
PH=PQ•cos∠QPH=

2 5

5

（4-t）×

5

5

=

8-2t

5

，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O右側(cè)時，OH=OP+PH=t+

8-2t

5

=

8+3t

5

，
∵△OQH與△APM相似，
∴

OH

QH

=

AP

AM

=tan∠OAB或

QH

OH

=

AP

AM

=tan∠OAB，
即

8+3t 5

16-4t 5

=

1

2

或

16-4t 5

8+3t 5

=

1

2

，
解得t=0或t=

24

11

；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O左側(cè)時，OH=OP-PH=（-t）-

8-2t

5

=-

8+3t

5

，
∵△OQH與△APM相似，
∴

OH

QH

=

AP

AM

=tan∠OAB或

QH

OH

=

AP

AM

=tan∠OAB，
即

- 8+3t 5

16-4t 5

=

1

2

或

16-4t 5

- 8+3t 5

=

1

2

，
解得t=-16或t=8（舍去）；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），
∴AP=t-4，PM=AP•sin∠OAB=

5

5

（t-4），
∵P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線AB軸對稱，PQ交AB于點(diǎn)M，
∴PQ=2PM=

2 5

5

（t-4），
QH=PQ•sin∠QPH=

2 5

5

（t-4）×

2 5

5

=

4t-16

5

，
PH=PQ•cos∠QPH=

2 5

5

（t-4）×

5

5

=

2t-8

5

，
∴OH=OP-PH=t-

2t-8

5

=

3t+8

5

，
∵△OQH與△APM相似，
∴

OH

QH

=

AP

AM

=tan∠OAB或

QH

OH

=

AP

AM

=tan∠OAB，
即

3t+8 5

4t-16 5

=

1

2

或

4t-16 5

3t+8 5

=

1

2

，
解得t=-16（舍去）或t=8，
綜上所述，存在t的值，t=0或t=

24

11

或t=-16或t=8，使△OQH與△APM相似．

點(diǎn)評：本題是對一次函數(shù)的綜合考查，主要涉及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，銳角三角形函數(shù)，相似三角形對應(yīng)邊成比例，解直角三角形，（2）要分點(diǎn)P在點(diǎn)A的左右兩邊兩種情況討論，（3）根據(jù)點(diǎn)P的位置的不同，分別列出OH的不同表示是解題的關(guān)鍵，還要根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊不明確需要分情況討論．