Question

某圖書館門前的一段樓梯的界面如圖所示，這段樓梯分成7級(jí)高度均為0.3m的階梯，現(xiàn)要做一個(gè)不銹鋼的扶手AB及兩根于EF垂直且長(zhǎng)為1m的不銹鋼架桿AC和BD（桿子的底端分別為C、D），測(cè)得樓梯的傾斜角∠BAH=34.2°．
（1）B點(diǎn)與A點(diǎn)的高度差BH=

 

m．
（2）求所用不銹鋼材料的總長(zhǎng)度l（即AC+AB+BD）．（結(jié)果精確到0.1米）
（3）現(xiàn)要將該樓梯改造成可以供殘疾人用的斜坡PD（如圖），已知斜坡PD的坡角∠DPF=15°，求斜坡多占多長(zhǎng)一段地面（即PE）？（結(jié)果精確到0.1米）
（參考數(shù)據(jù)：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

Answer 1

分析：（1）D點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差=6×0.3m=1.8m，而B點(diǎn)與A點(diǎn)的高度差BH等于D點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差，即可得到BH的高度；
（2）在Rt△ABH中，BH=1.8，∠BAH=34.2°，利用sin34.5°=

BH

AB

≈0.56，即可計(jì)算出AB的長(zhǎng)；而AC=BD=1m，從而得到所用不銹鋼材料的總長(zhǎng)度l=AC+AB+BD；
（3）BH與EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，在Rt△ABH中，BH=1.8，∠BAH=34.2°，利用sin34.5°=

BH

AB

≈0.56，計(jì)算出AH，即得到EM；
在Rt△PDM中，DM=BH+1.3=1.8+0.3=2.1m，∠DPF=15°，利用tan15°=

DM

PM

，計(jì)算出AM，然后由PE=PM-EM=AM-AH得到PE的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）∵階梯的高度均為0.3m，
∴D點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差=6×0.3m=1.8m，
∴B點(diǎn)與A點(diǎn)的高度差BH=1.8m；
故答案為1.8．

（2）在Rt△ABH中，BH=1.8，∠BAH=34.2°，
∴sin34.2°=

BH

AB

≈0.56，即AB=

1.8

0.56

≈3.21（m），
∴所用不銹鋼材料的總長(zhǎng)度l=AC+AB+BD=1+3.21+1≈5.2（m）．

（3）如圖，BH與EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，

在Rt△ABH中，BH=1.8，∠BAH=34.2°，
∴tan34.2°=

BH

AH

=0.68，
∴AH=

1.8

0.68

≈2.65（m），
在Rt△PDM中，DM=BH+0.3=1.8+0.3=2.1m，∠DPF=15°，
∴tan15°=

DM

PM

，
∴PM=

2.1

0.27

≈7.78m，
∴PE=PM-EM=AM-AH=7.78-2.65≈5.1（m），
即斜坡多占5.1m的一段地面．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，已知一銳角和一直角邊，可以利用此銳角的正弦或余弦求斜邊，利用此銳角的正切求另一直角邊．