Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E為AB上一點，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，則下列結論中正確的有
①DE⊥EC；②∠ADE=∠BEC；③AD•BC=BE•AE；④CD=AD+BC．

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：①運用角平分線的性質及平行線的性質，易得到∠ADC+∠BCD=90°，再通過三角形的內(nèi)角和為180°，求得∠CED=90°，問題得證；
②先由平行線的性質得出∠A=180°-∠B=90°，再根據(jù)同角的余角相等即可證明∠ADE=∠BEC；
③先根據(jù)有兩角對應相等的兩三角形相似得出△ADE∽△BEC，再利用相似三角形的對應邊成比例，即可證得AD•BC=BE•AE；
④過E作EF⊥CD于點F．通過角角邊定理證得△AED≌△FED，△BCE≌△FCE，再利用全等三角形的性質證得BC=FC，AD=FD．問題得解．
解答：①∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠BCE，
∴∠DCE+∠CDE=90°，
∴DE⊥EC；
故本選項正確；
②∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°．
由①知∠DEC=90°，
∴∠BEC+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEC；
故本選項正確；
③在△ADE與△BEC中，
，
∴△ADE∽△BEC，
∴=，
∴AD•BC=BE•AE；
故本選項正確；
④過E作EF⊥CD于點F，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE．
在△AED與△FED中，
，
∴△AED≌△FED（AAS），
∴AD=FD，
同理，△BCE≌Rt△FCE，
∴BC=FC，
又∵CF+FD=BC，
∴AD+BC=DC，
即CD=AD+BC；
故本選項正確．
故選D．
點評：本題主要考查了直角梯形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質．解決本題的關鍵是熟練掌握三角形全等、相似的三角形判定定理、性質定理，做到靈活運用．