Question

如圖，設(shè)C、D是以O(shè)為圓心、AB為直徑的半圓上的任意兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交直線CD交于P，直線PO與直線CA、AD分別交于點(diǎn)E、F．證明：OE=OF．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：證明題

分析：過(guò)O作OM⊥CD于M，連結(jié)BC、BM、BD、BE，根據(jù)垂徑定理由OM⊥CD得CM=DM，且∠OMD=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OBP=90°，可判斷O、B、P、M四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得∠BMP=∠BOP，而∠BOP=∠AOE，所以∠BMP=∠AOP，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠MDB=∠EAO，于是可判斷△OAE∽△MDB，得到

AE

BD

=

AO

DM

，利用DM=

1

2

CD，OA=

1

2

AB得到

AE

BD

=

AB

CD

，加上∠CDB=∠BAE，根據(jù)相似的判定方法得到△BAE∽△CDB，則∠EBA=∠BCD，而根據(jù)圓周角定理能得到∠BCD=∠BAD，所以∠EBA=∠BAD，則根據(jù)平行線的判定得到AD∥BE，再根據(jù)三角形相似的判定方法得到△OBE∽△OAF，利用相似比即可得到OE=OF．

解答：證明：過(guò)O作OM⊥CD于M，連結(jié)BC、BM、BD、BE，如圖，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM，∠OMD=90°，
∵PB為⊙O的切線，
∴∠OBP=90°，
∴∠OMP+∠OBP=180°，
∴O、B、P、M四點(diǎn)共圓，
∴∠BMP=∠BOP，
∵∠BOP=∠AOE，
∴∠BMP=∠AOP，
∵∠MDB=∠EAO，
∴△OAE∽△MDB，
∴

AE

BD

=

AO

DM

，
∵DM=

1

2

CD，OA=

1

2

AB，
∴

AE

BD

=

AB

CD

，
而∠CDB=∠BAE，
∴△BAE∽△CDB，
∴∠EBA=∠BCD，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠EBA=∠BAD，
∴AD∥BE，
∴△OBE∽△OAF，
∴

OE

OF

=

OB

OA

，
而OB=OA，
∴OE=OF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓：若四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于內(nèi)對(duì)角，那么這四點(diǎn)共圓；圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角；也考查了垂徑定理、圓周角定理、切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．