Question

如圖，已知⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)P，它們的半徑分別為4和1，直線l與⊙O₁、⊙O₂分別相切于點(diǎn)A、B，求直線O₁O₂與直線l所成銳角∠T的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：相切兩圓的性質(zhì),切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)O₁A，O₂B，作O₂H⊥O₁A，根據(jù)相切兩圓的性質(zhì)和切線的性質(zhì)得O₁A⊥l，O₂A⊥l，O₁O₂=5，則O₂H∥l，所以∠O₁O₂H=∠O₁TA，于是AH=BO₂=1，O₁H=3，
在Rt△O₁O₂H中，根據(jù)正弦的定義得sin∠O₁O₂H=

O1H

O1O2

=

3

5

，即sin∠O₁TA=

3

5

．

解答：解：連結(jié)O₁A，O₂B，作O₂H⊥O₁A，如圖，
∵⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)P，
∴O₁A⊥l，O₂A⊥l，O₁O₂=4+1=5，
∴O₂H∥l，
∴∠O₁O₂H=∠O₁TA，
∴AH=BO₂=1，
∴O₁H=4-1=3，
在Rt△O₁O₂H中，sin∠O₁O₂H=

O1H

O1O2

=

3

5

，
∴sin∠O₁TA=

3

5

．
即直線O₁O₂與直線l所成銳角∠T的正弦值為

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相切兩圓的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么連心線必經(jīng)過切點(diǎn)．也考查了切線的性質(zhì)和正弦的定義．