如圖,已知⊙O1、⊙O2外切于點P,它們的半徑分別為4和1,直線l與⊙O1、⊙O2分別相切于點A、B,求直線O1O2與直線l所成銳角∠T的正弦值.
考點:相切兩圓的性質(zhì),切線的性質(zhì)
專題:計算題
分析:連結(jié)O1A,O2B,作O2H⊥O1A,根據(jù)相切兩圓的性質(zhì)和切線的性質(zhì)得O1A⊥l,O2A⊥l,O1O2=5,則O2H∥l,所以∠O1O2H=∠O1TA,于是AH=BO2=1,O1H=3,
在Rt△O1O2H中,根據(jù)正弦的定義得sin∠O1O2H=
O1H
O1O2
=
3
5
,即sin∠O1TA=
3
5
解答:解:連結(jié)O1A,O2B,作O2H⊥O1A,如圖,
∵⊙O1、⊙O2外切于點P,
∴O1A⊥l,O2A⊥l,O1O2=4+1=5,
∴O2H∥l,
∴∠O1O2H=∠O1TA,
∴AH=BO2=1,
∴O1H=4-1=3,
在Rt△O1O2H中,sin∠O1O2H=
O1H
O1O2
=
3
5
,
∴sin∠O1TA=
3
5

即直線O1O2與直線l所成銳角∠T的正弦值為
3
5
點評:本題考查了相切兩圓的性質(zhì):如果兩圓相切,那么連心線必經(jīng)過切點.也考查了切線的性質(zhì)和正弦的定義.
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