Question

【題目】如圖1，已知點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在直線AB和CD上，EL和FG分別平分∠BEF和∠EFC，EL∥FG.

(1)求證：AB∥CD；

(2)如圖，點(diǎn)M為FD上一點(diǎn)，∠BEM，∠EFD的角平分線EH，FH相交于點(diǎn)H，若∠H=∠FEM+15°，延長(zhǎng)HE交FG于G點(diǎn)，求∠G的度數(shù)；

(3)如圖，點(diǎn)N在直線AB和直線CD之間，且EN⊥FN，點(diǎn)P為直線AB上的點(diǎn)，若∠EPF，∠PFN的角平分級(jí)交于點(diǎn)Q，設(shè)∠BEN=α，直接寫(xiě)出∠PQF的大小為(用含α的式子表示).

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析； (2)∠G=25°；(3) 135°-或135°+.

【解析】

（1）首先根據(jù)角平分線可得∠BEL=∠FEL，∠CFG=∠EFG，再根據(jù)EL∥FG，結(jié)合可證明∠CFE=∠BEF，進(jìn)而證明AB∥CD.

（2）根據(jù)設(shè)元導(dǎo)角結(jié)合平行線的性質(zhì)即可求得∠G.

（3）首先根據(jù)題意要分類(lèi)討論，第一種情況當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)左側(cè)；第二種情況當(dāng)點(diǎn)P在EH之間；第三種情況當(dāng)點(diǎn)P在H點(diǎn)右側(cè).

(1)證明：

∵EL和FG分別平分∠BEF和∠EFC

∴∠BEL=∠FEL，∠CFG=∠EFG

又∵EL∥FG

∴∠EFG=∠FEL

∴∠CFG=∠EFG=∠FEL=∠BEL，

∠CFG+∠EFG=∠FEL+∠BEL

即∠CFE=∠BEF

∴AB∥CD

(2)提示：(注意：模型和△導(dǎo)角均需通過(guò)平行線導(dǎo)角進(jìn)一步證明)

如圖設(shè)元導(dǎo)角

臭腳模型：∠G=∠BEG-∠DFG

=180°-α-(90°+β)

=90°-(α+β)

豬蹄模型：∠H=α+β

∵AB∥CD

∴2α+∠FEM+∠B=180°

∴∠FEM=180°-2β-2a

∵∠H=∠FEM+15°

∴a+β=180×-2β-2α+15°

解得，α+β=65°

∴∠G=90°-(α+β)=25°

(3) 135°-或135°+

延長(zhǎng)FN交直線AB于H點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖設(shè)元導(dǎo)角△PQF內(nèi)角和：

∠PQF=180°-x-y

豬蹄模型：

∠DFN=∠N-∠BEN=90°-α

∵AB∥CD

∴2x+2y+90°-α=180°

∴x+y=45°+

∴∠PQF=180°-(45°+)=135°-

②當(dāng)點(diǎn)P在EH之間時(shí)，如圖，此時(shí)點(diǎn)Q在CEPF的角平分線的反向延長(zhǎng)線與∠PFN的角平分線交點(diǎn)處，不合題意，舍去。

③當(dāng)點(diǎn)P在H點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖設(shè)元導(dǎo)角

△PQF內(nèi)角和：

∠PQF=180°-x-y

∵AB∥CD

∴∠APF=∠DFP=2x

豬蹄模型：α+2y+2x=90°

∴x+y=45°-

∴∠PQF=180°-(45°-)=135°+

綜上：∠PQF=135°-或135+