【題目】已知拋物線:是由拋物線:平移得到的,并且的頂點(diǎn)為(1,-4)
(1)求的值;
(2)如圖1,拋物線C1與x軸正半軸交于點(diǎn)A,直線經(jīng)過點(diǎn)A,交拋物線C1于另一點(diǎn)B.請(qǐng)你在線段AB上取點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線PQ∥y軸交拋物線C1于點(diǎn)Q,連接AQ.
①若AP=AQ,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②若PA=PQ,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).
(3)如圖2,△MNE的頂點(diǎn)M、N在拋物線C2上,點(diǎn)M在點(diǎn)N右邊,兩條直線ME、NE與拋物線C2均有唯一公共點(diǎn),ME、NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為16,設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m、n,求m與n的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1);(2)①P點(diǎn)坐標(biāo)為;②P點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣;(3)m﹣n=4.
【解析】
(1)拋物線:是由拋物線:平移得到的,求出 ,
由拋物線的頂點(diǎn)為(1,-4),即可求出b、c的值;
(2)由直線經(jīng)過點(diǎn)A,求出b的值,從而求出直線和拋物線的解析式,設(shè)P(t,﹣t+4),根據(jù)PQ∥y軸,推出Q(t,t2﹣2t﹣3),分兩種情況:①當(dāng)AP=AQ時(shí),②當(dāng)AP=PQ時(shí),列出關(guān)于t的方程,即可求解;
(3)設(shè)經(jīng)過的直線解析式為y=k(x﹣m)+m2,直線ME與的方程聯(lián)立得到方程組,由直線ME與有唯一公共點(diǎn),得到k=2m,直線ME的解析式為y=2mx﹣m2,同理可求直線NE的解析式為y=2nx﹣n2,求得E.過E作直線∥x軸,分別過M,N作的垂線,垂足為C,D,根據(jù),列出關(guān)于m,n的方程,即可求解.
(1)∵拋物線:是由拋物線:平移得到的,
∴,
∵拋物線的頂點(diǎn)為(1,-4)
∴,,
∴,
∴
(2)y=(x﹣1)2﹣4與x軸正半軸的交點(diǎn)A(3,0),
∵直線y=﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A,
∴b=4,
∴y=﹣x+4,
﹣x+4=(x﹣1)2﹣4,
∴x=3或x=﹣,
∴B(﹣,),
設(shè)P(t,﹣t+4),且﹣<t<3,
∵PQ∥y軸,
∴Q(t,t2﹣2t﹣3),
①當(dāng)AP=AQ時(shí),
|4﹣t|=|t2﹣2t﹣3|,
則有﹣4+t=t2﹣2t﹣3,
∴t=,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為
②當(dāng)AP=PQ時(shí),
PQ=t2+t+7,PA=(3﹣t),
∴-t2+t+7=(3﹣t),
∴t=﹣;
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣
(3)設(shè)經(jīng)過的直線解析式為y=k(x﹣m)+m2,
,則有x2﹣kx+km﹣m2=0,
∵直線ME與有唯一公共點(diǎn),
∴△=k2﹣4km+4m2=(k﹣2m)2=0,
∴k=2m,直線ME的解析式為y=2mx﹣m2,
同理可求直線NE的解析式為y=2nx﹣n2,
∴E,
如圖,過E作直線∥x軸,分別過M,N作的垂線,垂足為C,D,
∴ [(n2﹣mn)+(m2﹣mn)]×(m﹣n)﹣(n2﹣mn)×(﹣n)﹣(m2﹣mn)×(m﹣)=16,
∴(m﹣n)3=64,
∴m﹣n=4
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【題目】為了計(jì)算湖中小島上涼亭P到岸邊公路l的距離,某數(shù)學(xué)興趣小組在公路l上的點(diǎn)A處,測(cè)得涼亭P在北偏東60°的方向上;從A處向正東方向行走200米,到達(dá)公路l上的點(diǎn)B處,再次測(cè)得涼亭P在北偏東45°的方向上,如圖所示.求涼亭P到公路l的距離.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732)
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【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)P、D分別在邊BC、AC上,PA⊥AB,垂足為點(diǎn)A,DP⊥BC,垂足為點(diǎn)P,.
(1)求證:∠APD=∠C;
(2)如果AB=3,DC=2,求AP的長(zhǎng).
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AD與BC是⊙O的直徑,延長(zhǎng)線段AC至點(diǎn)G,使AG=AD,連接DG交⊙O于點(diǎn)E,EF∥AB交AG于點(diǎn)F.
(1)求證:EF與⊙O相切.
(2)若EF=2,AC=4,求扇形OAC的面積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,6),且與x軸相交于點(diǎn)B,與正比例函數(shù)y=3x的圖象相交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.
(1)求k、b的值;
(2)若點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上,且滿足S△COD=S△BOC,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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【題目】在如圖所示8×7的正方形網(wǎng)格中,A(2,0),B(3,2),C(4,2),請(qǐng)按要求解答下列問題:
(1)將△ABO向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1O1,請(qǐng)畫出△A1B1O1并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo);
(2)將△ABO繞點(diǎn)C(4,2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2O2,請(qǐng)畫出△A2B2O2并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo);
(3)將△A1B1O1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)90°可以和△A2B2O2完全重合,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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【題目】反比例函數(shù)y(x0)交等邊△OAB于C、D兩點(diǎn),邊長(zhǎng)為5,OC=3BD,則k的值( 。
A.B.C.D.
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(1)求AG的長(zhǎng);
(2)在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)M(m,-1)使AM+CM最小,求出這個(gè)最小值;
(3)求線段GH所在直線的解析式.
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【題目】從寧海縣到某市,可乘坐普通列車或高鐵,已知高鐵的行駛路程與普通列車的行駛路程之和是920千米,而普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍.
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