Question

如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，點E在BC上，BE=3EC，點F在DE上，滿足：∠AFC=120°，EF＞EC，則DF=

 

．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì)

專題：

分析：作AO⊥BC于O，以BC為X軸，AO為Y軸建立直角坐標系，可得E（1，0），D（4，2

3

），G（0，

2 3

3

），根據(jù)待定系數(shù)法得到EF的解析式，設(shè)F（a，

2 3

3

a-

2 3

3

），根據(jù)兩點間的距離公式得到關(guān)于a的方程，進一步得到F（

16

7

，

6

7

3

），再根據(jù)兩點間的距離公式即可求解．

解答：解：如圖，作AO⊥BC于O，以BC為X軸，AO為Y軸建立直角坐標系，不難得出
E（1，0），D（4，2

3

），G（0，

2 3

3

）
∴EF的解析式：y=

2 3

3

x-

2 3

3

，
設(shè)F（a，

2 3

3

a-

2 3

3

）
顯然，點F在以G為圓心，AG為半徑的圓上，
∴GF=GA=

4

3

3

，
∴GF²=a²+（

2 3

3

a-

2 3

3

-

2 3

3

）²=（

4

3

3

）²
∴a=0（舍去）或a=

16

7

，
∴F（

16

7

，

6

7

3

）
∴DF²=（4-

16

7

）²+（2

3

-

6

7

3

）²=

48

7

，
∴DF=

48 7

=

4

7

21

．
故答案為：

4

7

21

．

點評：考查了菱形的性質(zhì)，涉及到直角坐標系，待定系數(shù)法得到直線的解析式，兩點間的距離公式，方程思想，綜合性較強，有一定的難度．