Question

觀察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，將以上三個等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）猜想并寫出

1

n(n+1)

=

 

（2）直接寫出下列各式的計算結果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

=

 

②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+…

1

n(n+1)

=

 

（3）探究并計算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

．

Answer 1

考點：有理數(shù)的混合運算

專題：規(guī)律型

分析：（1）先根據(jù)題中所給出的列子進行猜想，寫出猜想結果即可；
（2）根據(jù)（1）中的猜想計算出結果；
（3）根據(jù)乘法分配律提取

1

4

，再計算即可求解．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）直接寫出下列各式的計算結果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

=1-

1

2011

=

2010

2011

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+…

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

=

1

4

×（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1005×1006

）
═

1

4

×

1005

1006

=

1005

4024

．
故答案為：

1

n

-

1

n+1

；

2010

2011

；

n

n+1

．

點評：本題考查的是有理數(shù)的混合運算，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關鍵．