Question

△ABC內接于圓O，AB=AC，過點A作一直線與直線BC交于點D，與圓交于點E．
（1）如圖，當點D在線段BC上時，找出圖中所有相似三角形并說明AC，AD，AE之間的關系；
（2）如圖，當點D在BC的延長線上時，說明AC，AD，AE之間的關系．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,圓周角定理

專題：

分析：（1）利用圓周角定理可得∠DAE=∠DCE，結合對頂角可得△ABD∽△CED，結合條件可得∠AEC=∠ABC=∠ACD，結合公共角，可得△ADC∽△ACE，可得到

AD

AC

=

AC

AE

，可得到AC²=AD•AE；
（2）連接CD，可得∠ADC+∠B=∠ACE+∠ACB，可得到∠ADC=∠ACE，可證得△ADC∽△ACE，可得

AD

AC

=

AC

AE

，可得出結論．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠AEC，且∠DAC=∠CAE，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△CED，△ADC∽△ACE，
∴

AD

AC

=

AC

AE

，
∴AC²=AD•AE，
綜上可知相似三角形有△ABD∽△CED，△ADC∽△ACE，
AC，AD，AE之間的關系為：AC²=AD•AE；
（2）連接CD，

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ADC+∠B=∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ADC=∠ACE，且∠DAC=∠CAE，
∴，△ADC∽△ACE，
∴

AD

AC

=

AC

AE

，
∴AC²=AD•AE．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵，注意利用圓周角定理和圓內接四邊形的性質尋找角相等．