【題目】如圖,在ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓O,交BC于點(diǎn)D,連接AD、過點(diǎn)D作DEAC,垂足為點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證:EF是O的切線;

(2)求證:FDB∽△FAD;

(3)如果O的半徑為5,sinADE=,求BF的長.

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)

【解析】

試題分析:(1)連接OD,AB為0的直徑得ADB=90°,由AB=AC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC,即DB=DC,則OD為ABC的中位線,所以O(shè)DAC,而DEAC,則ODDE,然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論;

(2)利用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似進(jìn)行證明即可.

(3)由DAC=DAB,根據(jù)等角的余角相等得ADE=ABD,在RtADB中,利用解直角三角形的方法可計(jì)算出AD=8,在RtADE中可計(jì)算出AE=,然后由ODAE,得FDO∽△FEA,再利用相似比可計(jì)算出BF.

試題解析:(1)證明:連接OD,如圖,

AB為0的直徑,

∴∠ADB=90°,

ADBC,

AB=AC,

AD平分BC,即DB=DC,

OA=OB,

OD為ABC的中位線,

ODAC,

DEAC,

ODDE,

EF是0的切線;

(2)證明:EF是O的切線,

∴∠ODB+BDF=90°,

OD=OB,

∴∠OBD=ODB,

∴∠OBD+BDF=90°,

AB是O的直徑,

∴∠ADB=90°,

∴∠DAB+OBD=90°,

∴∠DAB=BDF,

∵∠BFD=DFA,

∴△FDB∽△FAD;

(3)∵∠DAC=DAB,

∴∠ADE=ABD,

在RtADB中,sinADE=sinABD=,而AB=10,

AD=8,

在RtADE中,sinADE=,

AE=,

ODAE,

∴△FDO∽△FEA,

,

BF=

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