Question

【題目】兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向的公路．現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部．

（1）點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）

（2）點(diǎn)C到公路ME的距離為2km，設(shè)AB的垂直平分線交ME于點(diǎn)N，點(diǎn)M處測(cè)得點(diǎn)C位于點(diǎn)M的北偏東60°方向，在N處沒得點(diǎn)C位于點(diǎn)N的北偏西45°方向，求MN的長（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析（2）2+2km

【解析】

試題分析：（1）到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點(diǎn)在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C；

（2）作CD⊥MN于點(diǎn)D．由三角函數(shù)得出MD=CD，DN=CD，于是得到結(jié)論．

試題解析：（1）如圖所示，點(diǎn)C即為所求；

（2）作CD⊥MN于點(diǎn)D，

由題意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，

∵在Rt△CMD中， =tan∠CMN，

∴MD==2；

∵在Rt△CND中， =tan∠CNM，

∴ND=CD=2，

∵MN=DM+DN=2+2km，