Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝(x—m)²—m²＋m的頂點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，連結(jié)AB，AC⊥AB，交y軸于點(diǎn)C，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使AD＝AC，連結(jié)BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．

（1）當(dāng)m＝2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求DE的長(zhǎng)?

（3）①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？

②過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P，當(dāng)m為何值時(shí)，以，A，B，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

（1）當(dāng)m＝2時(shí)，y＝(x—2)²＋1

把x＝0代入y＝(x—2)²＋1，得：y＝2

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）

（2）延長(zhǎng)EA，交y軸于點(diǎn)F

∵AD＝AC，∠AFC＝∠AED＝90º，∠CAF＝∠DAE

∴△AFC≌△AED

∴AF＝AE，

∵點(diǎn)A（m，—m²＋m），點(diǎn)B（0，m）

∴AF＝AE＝|m|，BF＝m—(—m²＋m)＝m²

∵∠ABF＝90º—∠BAF＝∠DAE，

∠AFB＝∠DEA＝90º，

∴△ABF∽△DAE

∴＝，即：＝

∴DE＝4  

（3）①∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，—m²＋m），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2m，—m²＋m＋4），

∴x＝2m， y＝—m²＋m＋4

∴y＝—•＋＋4

∴所求函數(shù)的解析式為：y＝—x²＋x＋4

②作PQ⊥DE于點(diǎn)Q，則△DPQ≌△BAF 

（Ⅰ）當(dāng)四邊形ABDP為平行四邊形時(shí)（如圖1），

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3m   

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：(—m²＋m＋4)—(m²)＝—m²＋m＋4

把P（3m，—m²＋m＋4）的坐標(biāo)代入y＝—x²＋x＋4得：

—m²＋m＋4＝—×(3m)²＋×(3m)＋4

解得：m＝0（此時(shí)A，B，D，P在同一直線上，舍去）

或m＝8

（Ⅱ）當(dāng)四邊形ABDP為平行四邊形時(shí)（如圖2），

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m   

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：(—m²＋m＋4)＋(m²)＝m＋4

把P（m，m＋4）的坐標(biāo)代入y＝—x²＋x＋4得：

m＋4＝—m²＋m＋4

解得：m＝0（此時(shí)A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m＝—8

綜上所述：m的值8或—8．

【不同的解答方法，酌情給分．】