在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),EC與AD交于點(diǎn)G,點(diǎn)F在BC上.
(1)如圖1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求證:EF=CD.
(2)如圖2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.
(1)詳見(jiàn)試題解析; (2)1:.
解析試題分析:(1)根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B,根據(jù)AC:AB=1:2及點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),得出AC=BE,再利用AAS證明△ACD≌△BEF,即可得出EF=CD;
(2)作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,先證明四邊形EQDH是矩形,得出∠QEH=90°,則∠FEQ=∠GEH,再由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH,得出EF:EG=EQ:EH,然后在△BEQ中,根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=BE,在△AEH中,根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=AE,又BE=AE,進(jìn)而求出EF:EG的值.
試題解析:(1)如圖1,
在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,
∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB.
∵AC:AB=1:2,∴AB=2AC,
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴AB=2BE,
∴AC=BE.
在△ACD與△BEF中,
,
∴△ACD≌△BEF,
∴CD=EF,即EF=CD;
(2)解:如圖2,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,
∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,
∴四邊形EQDH是矩形,
∴∠QEH=90°,
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,
又∵∠EQF=∠EHG=90°,
∴△EFQ∽△EGH,
∴EF:EG=EQ:EH.
∵AC:AB=1:,∠CAB=90°,
∴∠B=30°.
在△BEQ中,∵∠BQE=90°,
∴sin∠B==,
∴EQ=BE.
在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,
∴cos∠AEH==,
∴EH=AE.
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴BE=AE,
∴EF:EG=EQ:EH=BE:AE=1:.
考點(diǎn):1. 相似三角形的判定與性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對(duì)稱(點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C),點(diǎn)E、F分別是線段BC和線段BD上的點(diǎn),且點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上,聯(lián)結(jié)AF、AE,交BD于點(diǎn)G.
(1)如圖(1),求證:∠EAF=∠ABD;
圖(1)
(2)如圖(2),當(dāng)AB=AD時(shí),M是線段AG上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)BM、ED、MF,MF的延長(zhǎng)線交ED于點(diǎn)N,∠MBF=∠BAF,AF=AD,試探究線段FM和FN之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
圖(2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知:如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC上一點(diǎn),且∠AED =∠B.若AE=5,AB=9,CB=6.
(1)求證:△ADE∽△ACB;(2)求ED的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10.一把三角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與A、D不重合),一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,另一直角邊與AB交于點(diǎn)E.
(1)證明△DPC∽△AEP;
(2)當(dāng)∠CPD=30°時(shí),求AE的長(zhǎng);
(3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使△DPC的周長(zhǎng)等于△AEP周長(zhǎng)的倍?若存在,求出DP的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知:正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,射線AE與射線BC交于點(diǎn)E,射線AF與射線CD交于點(diǎn)F,∠EAF=45°.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),試猜想線段EF、BE、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的猜想.
(2)設(shè)BE=x,DF=y,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不包括點(diǎn)B、C),如圖1,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出x的取值范圍.
(3)當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不含端點(diǎn)B),點(diǎn)F在射線CD上運(yùn)動(dòng).試判斷以E為圓心以BE為半徑的⊙E和以F為圓心以FD為半徑的⊙F之間的位置關(guān)系.
(4)當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí),設(shè)AE與CD交于點(diǎn)G,如圖2.問(wèn)⊿EGF與⊿EFA能否相似,若能相似,求出BE的值,若不可能相似,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,直角△ABC中,∠C=90°,AB=2,sinB=,點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn),PD∥AB,PD交AC于點(diǎn)D,連結(jié)AP.
(1)求、的長(zhǎng);
(2)設(shè)的長(zhǎng)為,的面積為.當(dāng)為何值時(shí),最大并求出最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,△ABC與△A'B'C'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)畫(huà)出位似中心點(diǎn)O;
(2)直接寫(xiě)出△ABC與△A′B′C′的位似比;
(3)以位似中心O為坐標(biāo)原點(diǎn),以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,畫(huà)出△A′B′C′關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱的△A″B″C″,并直接寫(xiě)出△A″B″C″各頂點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知AB⊥BD,CD⊥BD
(1)若AB=9,CD=4,BD=10,請(qǐng)問(wèn)在BD上是否存在P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在,求BP的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若AB=9,CD=4,BD=12,請(qǐng)問(wèn)在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似?并求BP的長(zhǎng);
(3)若AB=9,CD=4,BD=15,請(qǐng)問(wèn)在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似?并求BP的長(zhǎng);
(4)若AB=m,CD=n,BD=l,請(qǐng)問(wèn)m,n,l滿足什么關(guān)系時(shí),存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的一個(gè)P點(diǎn)??jī)蓚(gè)P點(diǎn)?三個(gè)P點(diǎn)?
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