如圖,已知AB⊥BD,CD⊥BD
(1)若AB=9,CD=4,BD=10,請(qǐng)問(wèn)在BD上是否存在P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在,求BP的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若AB=9,CD=4,BD=12,請(qǐng)問(wèn)在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似?并求BP的長(zhǎng);
(3)若AB=9,CD=4,BD=15,請(qǐng)問(wèn)在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似?并求BP的長(zhǎng);
(4)若AB=m,CD=n,BD=l,請(qǐng)問(wèn)m,n,l滿足什么關(guān)系時(shí),存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的一個(gè)P點(diǎn)??jī)蓚(gè)P點(diǎn)?三個(gè)P點(diǎn)?
解:(1)存在P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
理由是:設(shè)BP=x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°。
∴當(dāng)或時(shí),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
①若,則,解得:x=。
②若,則,即x2﹣10x+36=0,△=(﹣10)2﹣4×1×36<0,此方程無(wú)解。
∴存在P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,此時(shí)BP的值為。
(2)在BD上存在2個(gè)P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,
理由是:設(shè)BP=x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°。
∴當(dāng)或時(shí),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
①若,則,解得:x=。
②若,則,即x2﹣12x+36=0,解得:x1=x2=6。
∴存在2個(gè)點(diǎn)P,使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,此時(shí)BP的值為或6。
(3)在BD上存在3個(gè)P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
理由是:設(shè)BP=x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°。
∴當(dāng)或時(shí),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
①若,則,解得:x=。
②若,則,即x2﹣15x+36=0,解得:x1=3,x2=12。
∴存在3個(gè)點(diǎn)P ,使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,此時(shí)BP的值為或3或12。
(4)設(shè)BP=x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°。
∴當(dāng)或時(shí),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
①若,則,解得:x=。
②若,則,即x2﹣lx+mn=0。
∵△=(﹣l)2﹣4×1×mn=l2﹣4mn,
∴當(dāng)l2﹣4mn<0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根;當(dāng)l2﹣4mn=0時(shí),方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)l2﹣4mn>0時(shí),方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
∴當(dāng)l2﹣4mn<0時(shí),存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的一個(gè)P點(diǎn);
當(dāng)l2﹣4mn=0時(shí),存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的兩個(gè)P點(diǎn);
當(dāng)l2﹣4mn>0時(shí),存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的三個(gè)P點(diǎn)。
解析
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),EC與AD交于點(diǎn)G,點(diǎn)F在BC上.
(1)如圖1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求證:EF=CD.
(2)如圖2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖:已知一次函數(shù)的圖像分別交軸、軸于、兩點(diǎn),且點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上,⊥軸于點(diǎn).
(1)求的值及、兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如果點(diǎn)在線段上,且,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如果點(diǎn)在軸上,那么當(dāng)△與△相似時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖1,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,F(xiàn)是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)F與A、C不重合),以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF,連接BF、AD.
(1)①猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系,直接寫出結(jié)論;
②將圖1中的正方形CDEF,繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度α,得到如圖2、圖3的情形.圖2中BF交AC于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)O,請(qǐng)你判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷.
(2)將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC,∠ACB=90°,正方形CDEF改為矩形CDEF,如圖4,且AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BF交AC于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)O,連接BD、AF,求BD2+AF2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC+BC=9,點(diǎn)O是斜邊AB上一點(diǎn),以O(shè)為圓心2為半徑的圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)D、E。
(1)求AC、BC的長(zhǎng);
(2)若AC=3,連接BD,求圖中陰影部分的面積(取3.14)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在等腰梯形ABCD中,DC∥AB,E是DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn),連接AE,交BC于點(diǎn)F。
(1)求證:△ABF∽△ECF
(2)如果AD=5cm,AB=8cm,CF=2cm,求CE的長(zhǎng)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
閱讀理解:
如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形,如果其中有兩個(gè)三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn);如果這三個(gè)三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn).解決問(wèn)題:
(1)如圖1,∠A=∠B=∠DEC=55°,試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn),并說(shuō)明理由;
(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)的格點(diǎn)(即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上,試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E;
拓展探究:
(3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊,使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處.若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn),試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.
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