Question

情境一

我們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．我們還知道：①圓心角的度數(shù)等于與它所對的弧的度數(shù)，②同弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半．由此，小明得到一個正確的結(jié)論：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半．如圖1，∠LMN＝．

問題1  填空：如圖1，如果的度數(shù)是80，那么∠LMN的度數(shù)是______．

圖

1

情境二

小明把頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫圓外角，并繼續(xù)探索．

如圖2，∵∠PTQ是△OPT的一個外角，

∴∠PTQ＝∠O＋∠P．

∴∠O＝∠PTQ －∠P．

∵圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半(已在情境一中

證明)，

∴∠PTQ＝，∠P＝．

∴∠O＝∠PTQ －∠P＝－＝(－)． 

經(jīng)歷了上述探索、證明過程，小明發(fā)現(xiàn)了“圓外角的度數(shù)等于它所夾的較大弧的度數(shù)減去較小弧的度數(shù)所得差的一半”這個正確結(jié)論．

問題2  填空：如圖2，如果＝80°，＝20°，那么∠O＝______°．

問題3  類比情境二的內(nèi)容，請你就角的頂點在圓內(nèi)的情況進行探索．寫出你的發(fā)現(xiàn)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

問題1  40．………………2分

問題2  30．………………4分

問題3  頂點在圓內(nèi)的角叫圓內(nèi)角．(圓內(nèi)角的名稱可以用其他名稱替代)………………5分

圓內(nèi)角的度數(shù)等于它和它的對頂角所對兩弧的度數(shù)和的一半．………………7分

證明：如圖，延長BA，交圓于點D，延長CA，交圓于點E，連接CD．

∵∠BAC是△ACD 的一個外角，

∴∠BAC＝∠C＋∠D．……9分

∵圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半(已在情境一中證明)，

∴∠C＝，∠D＝．

∴∠BAC＝∠C ＋∠D＝＋＝(＋)．……11分

∴命題成立．