Question

（2011•歷下區(qū)二模）如圖①，矩形ABCD被對角線AC分為兩個(gè)直角三角形，AB=4，BC=8．現(xiàn)將Rt△ADC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的位置為點(diǎn)M，點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后的位置為點(diǎn)N．以C為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，以過點(diǎn)C垂直于BC的直線為y軸，建立如圖②的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求直線AM的解析式；
（2）將Rt△MNC沿x軸的負(fù)方向平行移動(dòng)，如圖③．設(shè)OC=x（0＜x≤12），Rt△MNC與Rt△ABO的重疊部分面積為S；
①當(dāng)x=2與x=10時(shí)，求S的值；
②S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出A（-8，4），M（4，8）的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；
（2）①當(dāng)x=1時(shí)，如圖1，重疊部分為△POC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答；②當(dāng)x=10時(shí)，如圖2，重疊部分為梯形NQAB，根據(jù)梯形的面積公式解答；
（3）①顯然，畫圖分析，從圖中可以看出：當(dāng)0＜x≤4與10＜x≤12時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)s的最大值；
②當(dāng)4＜x≤8時(shí)，由圖3可知：當(dāng)x=8時(shí)，s最大；
③當(dāng)8＜x≤10時(shí)，如圖4，表示出各三角形的面積，再將s表示為S_△OCN-S_△OFM-S_△BCG，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）AB=4，BC=8，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A（-8，4），M（4，8），
設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（-8，4），M（4，8）分別代入解析式得：

-8k+b=4 4k+b=8

，
解得：

k= 1 3 b= 20 3

，
則直線AM解析式為y=

1

3

x+

20

3

；

（2）①當(dāng)x=2時(shí)，如圖1，重疊部分為△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，且S_△AOB=

1

2

AB•OB=16，OC=2，OA=

AB2+OB2

=4

5

，
∴

S

S△AOB

=（

OC

OA

）²，即

S

16

=（

2

4 5

）²=

1

20

，
解得：S=

4

5

；
②當(dāng)x=10時(shí)，如圖2，重疊部分為梯形NQAB，

可得：ON=OC-CN=10-4=6，BN=OB-ON=8-6=2，
又∵△ONQ∽△OBA，
∴

NQ

AB

=

ON

OB

，即

NQ

4

=

6

8

，
∴NQ=3，
∴S=

1

2

（QN+AB）•BN=

1

2

×（3+4）×2=7；

（3）如圖所示：

①顯然，畫圖分析，從圖中可以看出：當(dāng)0＜x≤4與10＜x≤12時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)S的最大值；
②當(dāng)4＜x≤8時(shí)，由圖3可知：當(dāng)x=8時(shí)，S最大，
∵△OBF∽△OAB，
∴

OB

OA

=

BF

AB

=

OF

OB

，即

8

4 5

=

BF

4

=

OF

8

，
∴BF=

8 5

5

，OF=

16 5

5

，
又∵△OEN∽△OAB，且ON=OB-BN=8-4=4，
∴

ON

OB

=

EN

AB

，即

4

8

=

EN

4

，
∴EN=2，
此時(shí)S_△OBF=

1

2

BF•OF=

64

5

，S_△OEN=

1

2

EN•ON=4，
∴S=S_△OBF-S_△OEN=

64

5

-4=

44

5

；
③∵當(dāng)8＜x≤10時(shí)，如圖4，S_△OCF=

x2

5

，S_△OEN=

(x-4)2

4

，S_△BCG=（x-8）²，
∴S=S_△OCF-S_△OEN-S_△BCG=

x2

5

-

(x-4)2

4

-（x-8）²=-

21

20

x²+18x-68=-

21

20

（x-

60

7

）²+

64

7

，
當(dāng)x=

60

7

時(shí)，S最大值為

64

7

．
綜上，當(dāng)x=8時(shí)，S最大值為

44

5

；當(dāng)x=

60

7

時(shí)，S最大值為

64

7

．

點(diǎn)評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，