Question

（本題10分）已知：如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E．CM⊥AE,垂足是F, 交AD于N,交AB于M,連接ME。

（1）求證：ME⊥BC；

（2）若AB=，試求ME的長。

Answer 1

（2）1

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到要相等，在根據(jù)勾股定理得到斜邊的長，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CE的長，從而求出BE,最終根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出結(jié)果.

試題解析：（1）∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠EAD

又∵∠BAC=90°,AD⊥BC

∴∠EAC=90°-∠BAE; ∠AED=90°-∠EAD

∴∠EAC=∠AED

∴AC=EC

∵CM⊥AE

∴∠ACM=∠ECM 又CM=CM

∴△ACM≌△ECM（SAS）

∴∠MEC=∠MAC=90°

即 ME⊥BC

（2）在Rt△ABC中,AB=AC=

∴BC=

又CE=AC=

∴BE=BC-CE=（）-（）=1

∵M(jìn)E⊥BC, ∠B=45°

∴∠BME=∠B

∴ME=BE=1

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)