(2003•茂名)已知拋物線y=-x2+2kx-k2+k+1(k是常數(shù))
(1)通過配方,寫出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證:不論k取任何實(shí)數(shù),拋物線的頂點(diǎn)都在某一次函數(shù)的圖象上.并指出此一次函數(shù)的解析式;
(3)設(shè)此拋物線與y軸的交點(diǎn)為A(0,1),其頂點(diǎn)為B.試問:在x軸上是否存在一點(diǎn)P,使△ABP的周長最?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)簡述理由.

【答案】分析:(1)把函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=-x2+2kx=k2+k+1=-(x-k)2+k+1,可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(k,k+1),對(duì)稱軸是x=k.
(2)因把拋物線的頂點(diǎn)(k,k+1),寫成方程組,消去k得,y=x+1,由此可見函數(shù)y=x+1是所求函數(shù)的解析式.
(3)把點(diǎn)A(0,1),代入二次函數(shù)可知,1=-k2+k+1,解得k=0或k=1,分別把k值代入題中確定,當(dāng)k=1時(shí),k+1=2,他的頂點(diǎn)為B(1,2),取AP+PB最小,點(diǎn)P為所求的點(diǎn).設(shè)直線A′B的解析式為y=ax+b,把點(diǎn)A′(0,-1),B(1,2),代入解析式可得,解得y=3x-1,因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上,所以當(dāng)y=0時(shí),x=,所以當(dāng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(,0)時(shí),△ABP的周長最。
解答:解:(1)因?yàn)閥=-x2+2kx-k2+k+1=-(x-k)2+k+1,
所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(k,k+1),對(duì)稱軸是x=k.

(2)因?yàn)閽佄锞的頂點(diǎn)為(k,k+1),
所以
消去k得,y=x+1
由此可見,不論k取任何實(shí)數(shù),拋物線的頂點(diǎn)(k,k+1)都滿足函數(shù)y=x+1,
即在一次函數(shù)y=x+1的圖象上.
所以函數(shù)y=x+1是所求函數(shù)的解析式.

(3)符合條件的點(diǎn)P存在.
因?yàn)辄c(diǎn)A(0,1)_在拋物線上,
所以,1=-k2+k+1,
解得k=0或k=1,
①當(dāng)k=0時(shí),k+1=1,所以它的頂點(diǎn)是B(0,1)與點(diǎn)A重合,不合題意,舍去.所以k≠0
②當(dāng)k=1時(shí),k+1=2,他的頂點(diǎn)為B(1,2),
因?yàn)辄c(diǎn)A、B已經(jīng)確定,所以AB的長度為定值,
所以要使△ABP的周長最小,只須AP+PB的和最小.
此時(shí),取AP+PB最小,所以點(diǎn)P為所求的點(diǎn),
設(shè)直線A′B的解析式為y=ax+b,它過點(diǎn)A′(0,-1),B(1,2),
所以,
解得
所以y=3x-1,
因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上,所以當(dāng)y=0時(shí),x=,
所以當(dāng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(,0)時(shí),△ABP的周長最。
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法以及線段和的最小值問題.注意分析題意分情況討論結(jié)果.
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(3)設(shè)此拋物線與y軸的交點(diǎn)為A(0,1),其頂點(diǎn)為B.試問:在x軸上是否存在一點(diǎn)P,使△ABP的周長最?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)簡述理由.

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