Question

如圖，△DEF是正三角形，AD=BF=EC，求證：△ABC是正三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：常規(guī)題型

分析：利用反證法，先假設(shè)△ABC中有兩邊相等，可證明△ABC為等邊三角形，再假設(shè)△ABC中各邊不相等，可證明假設(shè)不成立，即可△ABC為等邊三角形．

解答：證明：如果AB．BC．AC有兩條邊AB．AC相等，則AE=BD，BF=AD，ED=DF

在△AED和△BDF中，

BF=AD ED=DF BD=AE

，
∴△AED≌△BDF（SSS），
∴∠A=∠B，
∵AB=AC，
∴∠A=∠B=∠C，故此時(shí)△ABC為等邊△，
 若∠A，∠B，∠C各不相等，則這個(gè)三角形中至少有一個(gè)角大于60°，一個(gè)角小于60°，
 設(shè)∠A＞60°，∠B＜60°，在BA及延長(zhǎng)線(xiàn)上分別取點(diǎn)P．Q，使得∠DPF=60°，∠AQE=60°，
∵∠ADE+∠FDE+∠FDP=180°，且△DPF的內(nèi)角和為180°，∠DPF=∠FDE=60°，
∴∠DFP=∠ADE，
在△QDE和△PFD中，

∠DQE=∠FPD ∠QDE=∠DFP DF=DE

，
∴△QDE≌△PFD（AAS），
∴DQ=PF，
∵∠BPF為鈍角，
∴BF＞PF，
∴AD=BF＞DQ顯然不成立，
∴△ABC必為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中運(yùn)用反證法求證是解題的關(guān)鍵．