Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于E，D是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BDC=120°．下列結(jié)論：①∠BEC=120°；②DB=DC；③DB=DE;④∠BDE=∠BCA．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ �。�

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°，判斷①正確；過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DF=DG，再求出∠BDF=∠CDG，然后利用“角邊角”證明△BDF和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=CD，得出②正確；再根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠DBC=30°，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義求出∠DBE=∠DEB，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BD=DE，判斷③正確；再求出B，C，E三點(diǎn)在以D為圓心，以BD為半徑的圓上，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可得∠BDE=2∠BCE=∠BCA，判斷④正確．

詳解：∵∠BAC=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，

∵BE、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°，故①正確；

如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延長(zhǎng)線于G，

∵BE、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線， ∴AD為∠BAC的平分線，

∴DF=DG， ∴∠FDG=360°-90°×2-60°=120°， 又∵∠BDC=120°，

∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°， ∴∠BDF=∠CDG，

∴△BDF≌△CDG（ASA）， ∴DB=CD，故②正確；

∴∠DBC=（180°-120°）=30°， ∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，

∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠BAC=30°，

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，∴∠DBE=∠DEB，

∴DB=DE，故③正確；

∵DB=DE=DC， ∴B，C，E三點(diǎn)在以D為圓心，以BD為半徑的圓上，

∴∠BDE=2∠BCE=∠BCA，故④正確；故選D．