Question

【題目】如圖1，對于平面直角坐標(biāo)系x O y中的點A和點P，若將點P繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到點Q，則稱點Q為點P關(guān)于點A的“垂鏈點”.

(1) △PAQ是__________三角形;

(2)已知點A的坐標(biāo)為（0, 0），點P關(guān)于點A的“垂鏈點”為點Q

①若點P的坐標(biāo)為（2, 0），則點Q的坐標(biāo)為___________；

②若點Q的坐標(biāo)為（-2, 1），則點P的坐標(biāo)為___________；

(3)如圖2, 已知點D的坐標(biāo)為（3, 0），點C在直線y=2x上,若點C關(guān)于點D的“垂鏈點”在坐標(biāo)軸上，試求點C的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）等腰直角；（2）①(0, -2)；②(-1, -2)；（3）點C坐標(biāo)（3,6）或（, -3）.

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到AP=AQ，∠PAQ=90°，即可得到答案；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和“垂鏈點”的定義，分別求出點Q和點P的坐標(biāo)即可；

（3）①當(dāng)點C在第一象限時，則點C關(guān)于點D的“垂鏈點”在x軸上，則CD⊥x軸，即可求解；②當(dāng)點C在第三象限時，證明△CDH≌△DOC1（AAS），得到CH=OD=3，即可求出點C的坐標(biāo).

解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，AP=AQ，∠PAQ=90°，

∴△PAQ是等腰直角三角形；

故答案為：等腰直角；

（2）∵點A為（0，0），即為原點，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和“垂鏈點”的定義，得

①若點P的坐標(biāo)為（2，0），則點Q的坐標(biāo)為（）；

②點Q的坐標(biāo)為（，1），則點P的坐標(biāo)為（）；

故答案為：①（）；②（）；

（3）根據(jù)題意，點D為（3，0）；

①當(dāng)點C在第一象限時，則點C關(guān)于點D的“垂鏈點”在x軸上，

∴CD⊥x軸，

∴點C的橫坐標(biāo)為3，

∵點C在直線y=2x上，則y=6，

∴點C的坐標(biāo)為：（3，6）；

②當(dāng)點C在第三象限時，則“垂鏈點”C1在y軸上，

過點C作CH⊥x軸，交點為H，如圖：

∵CH⊥x軸，∠CDC1=90°，

∴∠CHD=∠DOC1=90°，

∴∠CDH+∠HDC1=∠CDC1=90°，∠HDC1+∠OC1D=90°，

∴∠CDH=∠OC1D，

∵CD=C1D，

∴△CDH≌△DOC1（AAS），

∴CH=OD=3，

∴點C的縱坐標(biāo)為，

把代入y=2x，解得：，

∴點C的坐標(biāo)為：（，）；

綜合上述，點C的坐標(biāo)為：（3，6）或（，）.