Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣x+與直線y＝x+b交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）過(guò)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)C，連接PA、PB．

（1）求直線的解析式及A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)△APB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，﹣3）；（2）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，△APB面積最大，最大值為27，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，）．

【解析】

（1）令＝0求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝x+b可求出直線解析式，聯(lián)立拋物線和直線解析式可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)P（x，），則C（x，x﹣），由此表示出PC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式得到S△APB＝（﹣x2﹣4x+5）×（1+5），整理成頂點(diǎn)式，即可求出面積最大值和P的坐標(biāo).

（1）∵y＝，

∴當(dāng)y＝0時(shí)，＝0，

解得x1＝﹣，x2＝1，

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．

將A（1，0）代入y＝x+b，

得0＝×1+b，

解得b＝﹣，

∴直線的解析式為y＝x﹣．

由，解得，，

∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，﹣3）；

（2）設(shè)P（x，），則C（x，x﹣），

∴PC＝（）﹣（x﹣）＝﹣x2﹣4x+5，

∴S△APB＝PC|xA﹣xB|

＝（﹣x2﹣4x+5）×（1+5）

＝﹣3x2﹣12x+15

＝﹣3（x+2）2+27，

當(dāng)x＝﹣2時(shí)，△APB面積最大，最大值為27，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，）．