Question

如圖，AB是⊙O的直徑，經(jīng)過圓上點(diǎn)D的直線CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)A作直線AB的垂線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AB=2

3

，∠B=30°，求線段DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）連接OD，要證明直線CD是⊙O的切線，只需證明CD⊥OD即可；
（2）首先，在直角△ADB中，利用三角函數(shù)求得AD=

3

，然后，在RT△EAD中，通過解直角三角函數(shù)即可求出DE的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：如圖，連接OD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=90°；
又∵OB=OD，
∴∠2=∠B，
而∠ADC=∠B，
∴∠1+∠ADC=∠ADO=90°，即CD⊥OD．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴直線CD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠ADB=90°，
∵∠B=30°，
∴∠DAB=60°，AD=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∴∠EAD=30°，
∵在RT△EAD中，tan∠EAD=

DE

AD

，
∴DE=tan30°•AD=

3

3

×

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角函數(shù)、切線的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．