Question

如圖，直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式，并驗(yàn)證點(diǎn)B是否在拋物線上；
（2）作BD⊥OC，垂足為D，連接AB，E為y軸左側(cè)拋物線點(diǎn)，當(dāng)△EAB與△EBD的面積相等時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在直線AC上，點(diǎn)Q在拋物線y=-x²+bx+c上，是否存在P、Q，使以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出直線y=-x+3與x軸交點(diǎn)C，與y軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后將x=2代入，計(jì)算y的值，即可判斷點(diǎn)B（2，3）是否在拋物線上；
（2）先由一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明四邊形AODB是矩形，則AB⊥AO．再設(shè)E（x，-x²+2x+3），根據(jù)三角形的面積公式得出S_△EAB=

1

2

AB•[3-（-x²+2x+3）]=x²-2x，S_△EBD=

1

2

BD•（2-x）=

3

2

（2-x），由S_△EAB=S_△EBD，列出方程x²-2x=

3

2

（2-x），解方程即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x+3），以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，可分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)AB為邊時(shí)；又分四邊形BAPQ為平行四邊形和四邊形BAQP為平行四邊形兩種情況，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等用含x的代數(shù)式表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x²+2x+3，列出方程，解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，再將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x²+2x+3，列出方程，解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在y=-x+3中，
令x=0，得y=3；令y=0，得x=3，
∴A（0，3），C（3，0）．
∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，
∴

c=3 -9+3b+c=0

，
解得

b=2 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-2²+2×2+3=3，
∴點(diǎn)B（2，3）在拋物線上；

（2）∵A（0，3），B（2，3），
∴AO=BD=3，
∵AO⊥OC，BD⊥OC，
∴AO∥BD，
∴四邊形AODB是平行四邊形，
∵∠AOD=90°，
∴平行四邊形AODB是矩形，
∴AB⊥AO．
設(shè)E（x，-x²+2x+3），
則S_△EAB=

1

2

AB•[3-（-x²+2x+3）]=x²-2x，
S_△EBD=

1

2

BD•（2-x）=

3

2

（2-x），
∵S_△EAB=S_△EBD，
∴x²-2x=

3

2

（2-x），
解得x₁=-

3

2

，x₂=2（舍去），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-

3

2

，-

9

4

）；

（3）存在P、Q，使以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．理由如下：
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x+3），分兩種情況：
①當(dāng)AB為邊時(shí)；
Ⅰ）如果四邊形BAPQ為平行四邊形，那么PQ∥AB∥x軸，且PQ=AB=2，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x+2，-x+3），
∵Q點(diǎn)在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴-x+3=-（x+2）²+2（x+2）+3，
整理得x²+x=0，
解得x₁=-1，x₂=0（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4）；
Ⅱ）如果四邊形BAQP為平行四邊形，那么PQ∥AB∥x軸，且PQ=AB=2，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x-2，-x+3），
∵Q點(diǎn)在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴-x+3=-（x-2）²+2（x-2）+3，
整理得x²-7x+8=0，
解得x₁=

7+ 17

2

，x₂=

7- 17

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

7+ 17

2

，-

1+ 17

2

）或（

7- 17

2

，

17 -1

2

）；
②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，則AB與PQ互相平分，
∵A（0，3），B（2，3），
∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x+3），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2-x，x+3），
∵Q點(diǎn)在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴x+3=-（2-x）²+2（2-x）+3，
整理得x²-x=0，
解得x₁=1，x₂=0（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）；
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，4）或（

7+ 17

2

，-

1+ 17

2

）或（

7- 17

2

，

17 -1

2

）或（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．