Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為a．直線(xiàn)y=bx+c交x軸于E，交y軸于F，且a、b、c分別滿(mǎn)足-（a-4）²≥0，c=

b-2

+

2-b

+8
（1）求直線(xiàn)y=bx+c的解析式并直接寫(xiě)出正方形OABC的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）直線(xiàn)y=bx+c沿x軸正方向以每秒移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)平移的時(shí)間為t秒，問(wèn)是否存在t的值，使直線(xiàn)EF平分正方形OABC的面積？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P為正方形OABC的對(duì)角線(xiàn)AC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)A、C除外），PM⊥PO，交直線(xiàn)AB于M，求

PC

BM

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,正方形的性質(zhì),平移的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形變化-平移

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值，進(jìn)而確定出直線(xiàn)y=bx+c，得到正方形的邊長(zhǎng)，即可確定出D坐標(biāo)；
（2）存在，理由為：對(duì)于直線(xiàn)y=2x+8，令y=0求出x的值，確定出E坐標(biāo)，根據(jù)題意得：當(dāng)直線(xiàn)EF平移到過(guò)D點(diǎn)時(shí)正好平分正方形AOBC的面積，設(shè)平移后的直線(xiàn)方程為y=2x+t，將D坐標(biāo)代入求出b的值，確定出平移后直線(xiàn)解析式，進(jìn)而確定出此直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，從而求出平移距離，得到t的值；
（3）過(guò)P點(diǎn)作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用角平分線(xiàn)定理得到PH=PQ，利用AAS得到三角形OPH與三角形MPQ全等，得到OH=QM，根據(jù)四邊形CNPG為正方形，得到PG=BQ=CN，由三角形CGP為等腰直角三角形得到CP=

2

GP=

2

2

BM，即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）∵-（a-4）²≥0，c=

b-2

+

2-b

+8，
∴a=4，b=2，c=8，
∴直線(xiàn)y=bx+c的解析式為：y=2x+8，
∵正方形OABC的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)D，且正方形邊長(zhǎng)為4，
∴D（2，2）；

（2）存在，
理由為：
對(duì)于直線(xiàn)y=2x+8，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-4，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0），
根據(jù)題意得：當(dāng)直線(xiàn)EF平移到過(guò)D點(diǎn)時(shí)正好平分正方形AOBC的面積，
設(shè)平移后的直線(xiàn)為y=2x+t，
代入D點(diǎn)坐標(biāo)（2，2），
得：2=4+t，即t=-2，
∴平移后的直線(xiàn)方程為y=2x-2，
令y=0，得到x=1，
∴此時(shí)直線(xiàn)和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），平移的距離為1-（-4）=5，
則t=5秒；
（3）過(guò)P點(diǎn)作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，
∵∠OPM=∠HPQ=90°，
∴∠OPH+∠HPM=90°，∠HPM+∠MPQ=90°，
∴∠OPH=∠MPQ，
∵AC為∠BAO平分線(xiàn)，且PH⊥OA，PQ⊥AB，
∴PH=PQ，
在△OPH和△MPQ中，

∠PHO=∠PQM=90° ∠OPH=∠MPQ PH=PQ

，
∴△OPH≌△MPQ（AAS），
∴OH=QM，
∵四邊形CNPG為正方形，
∴PG=BQ=CN，
∴CP=

2

PG=

2

2

BM，
即

PC

BM

=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平移的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．