Question

已知M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作弦AB和CD，連結(jié)AD與BC，分別交PQ與點(diǎn)X和Y，并連結(jié)AC與BD，有以下四個(gè)結(jié)論：
①DM•MC=AM•BM；
②MX=MY；
③若M為該圓圓心，則四邊形ACBD為菱形；
④若M為該圓直徑GH上一點(diǎn)（不與G、H重合）延長(zhǎng)PQ于點(diǎn)E，連結(jié)GE交圓于點(diǎn)F，則GM•GH=MQ•ME；
請(qǐng)問正確的結(jié)論為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),垂徑定理,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：推理填空題

分析：由于不知道點(diǎn)M是否是圓心，故需分兩種情況進(jìn)行討論．
（1）若點(diǎn)M是圓的圓心，如圖1．易證①②正確，通過舉反例可得到③④不一定正確．
（2）若點(diǎn)M不是圓的圓心，如圖2．①根據(jù)圓周角定理可得∠DAB=∠BCD，∠ADM=∠CBM，從而得到△ADM∽△CBM，則有

DM

BM

=

AM

CM

，即DM•CM=AM•BM，故①正確；②過點(diǎn)O作OJ⊥AD于J，作OK⊥BC于K，連接OX，OY，JM，KM，OM，如圖2．根據(jù)垂徑定理可得AJ=DJ=

1

2

AD，CK=BK=

1

2

BC．由△ADM∽△CBM可得

AJ

CK

=

AM

CM

，從而可證到△AJM∽△CKM，則有∠AJM=∠CKM．根據(jù)垂徑定理的推論由M是PQ的中點(diǎn)得OM⊥PQ，則有∠OJX=∠OMX=∠OMY=∠OKY=90°，從而有O、M、X、J四點(diǎn)共圓，O、M、Y、K四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠AJM=∠XOM，∠CKM=∠YOM，從而有∠XOM=∠YOM，進(jìn)而可證到△OXM≌△OYM（ASA），則有MX=MY，故②正確．

解答：解：（1）若點(diǎn)M是圓的圓心，則有MA=MB=MC=MD．如圖1．
①∵M(jìn)A=MB=MC=MD，∴DM•MC=AM•BM，故①正確．
②∵M(jìn)A=MB=MC=MD，∴四邊形ACBD是平行四邊形．
∴AD∥BC．∴∠ADM=∠BCD．
在△XDM和△YCM中，

∠XDM=∠YCM MD=MC ∠DMX=∠CMY

．
∴△XDM≌△YCM（ASA）．
∴MX=MY．故②正確．
③當(dāng)AB與CD不垂直時(shí)，四邊形ACBD不是菱形，故③錯(cuò)誤．
④∵點(diǎn)M為圓心，∴MG=MQ．
當(dāng)GH≠M(fèi)E時(shí)，GM•GH≠M(fèi)Q•ME，故④錯(cuò)誤．
（2）若點(diǎn)M不是圓的圓心，如圖2．
①∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠DAB=∠BCD，∠ADM=∠CBM．
∴△ADM∽△CBM，
∴

DM

BM

=

AM

CM

．
即DM•CM=AM•BM，故①正確．
②過點(diǎn)O作OJ⊥AD于J，作OK⊥BC于K，連接OX，OY，JM，KM，OM．
則根據(jù)垂徑定理可得AJ=DJ=

1

2

AD，CK=BK=

1

2

BC．
∵△ADM∽△CBM，
∴

AD

BC

=

2AJ

2CK

=

AM

CM

；
∴

AJ

CK

=

AM

CM

，
又∵∠JAM=∠KCM，
∴△AJM∽△CKM，
∴∠AJM=∠CKM．
∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，
∴根據(jù)垂徑定理的推論得：OM⊥PQ，
∴∠OJX=∠OMX=∠OMY=∠OKY=90°．
∴O、M、X、J四點(diǎn)共圓，O、M、Y、K四點(diǎn)共圓．
∴∠AJM=∠XOM，∠CKM=∠YOM．
∴∠XOM=∠YOM．
在△OXM和△OYM中，

∠XOM=∠YOM OM=OM ∠OMX=∠OMY=90°

，
∴△OXM≌△OYM（ASA）．
∴MX=MY，故②正確．
綜上所述：①②一定正確，③④不一定正確．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、垂徑定理、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，有一定的綜合性，需要說明的是舉反例是判定一個(gè)命題是假命題的重要方法，需掌握．