Question

如圖，已知拋物線y₁=-x²+bx+c經過A（1，0），B（0，-2）兩點，頂點為D．
（1）求拋物線y₁的解析式；
（2）將△AOB繞點A順時針旋轉90°后，得到△AO′B′，將拋物線y₁沿對稱軸平移后經過點B′，求出平移后所得的拋物線y₂ 的解析式．

Answer 1

考點：待定系數法求二次函數解析式,二次函數圖象與幾何變換

專題：計算題

分析：（1）直接把A和B點坐標代入y₁=-x²+bx+c得到關于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可；
（2）根據旋轉的性質得到B′點的坐標為（-1，1），再根據二次函數的性質，由于拋物線y₁沿對稱軸平移后經過點B′，則二次項系數與一次項系數不變，則平移后拋物線y₂ 的解析式可設為y₂=-x²+3x+m，然后把B′點坐標代入求出m即可．

解答：解：（1）根據題意得

-1+b+c=0 c=-2

，解得

b=3 c=-2

，
所以拋物線y₁的解析式為y₁=-x²+3x-2；
（2）∵△AOB繞點A順時針旋轉90°后，得到△AO′B′，如圖，
∴B′點的坐標為（-1，1），
∵拋物線y₁沿對稱軸平移后經過點B′，
∴平移后拋物線y₂ 的解析式可設為y₂=-x²+3x+m，
把B′（-1，1）代入得-1-3+m=1，解得m=5，
∴平移后拋物線y₂ 的解析式為y₂=-x²+3x+5．

點評：本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數的性質．