【題目】如圖,在△CBD中,CD=BD,CD⊥BD,BE平分∠CBA交CD于點F,CE⊥BE垂足是E,CE的延長線與BD交于點A.
(1)求證:BF=AC;
(2)求證:BE是AC的中垂線;
(3)若BD=2,求DF的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)DF=﹣2+2.
【解析】
(1)欲證明BF=AC,只要證明△BDF≌△CDA(ASA)即可;
(2)根據(jù)角平分線以及垂直的定義可以先證明△ABE≌△CBE,進而可得出結論;
(3)連接AF,只要證明DF=AD,AF=CF,設DF=AD=x,利用勾股定理構建方程即可解決問題.
(1)證明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠DBF+∠A=90°,∠DCA+∠A=90°,
∴∠DBF=∠DCA,
∵BD=CD,
∴△BDF≌△CDA(ASA),
∴BF=AC;
(2)證明:∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∵CE⊥BE,∴∠BEA=∠BEC=90°,
又BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(ASA),
∴AE=CE,
∴BE是AC的中垂線;
(3)解:連接AF.
∵△BDF≌△CDA,
∴AD=DF,設DF=AD=x,
∵BE垂直平分AC,BD=CD=2,
∴CF=AF=2﹣x,
在Rt△ADF中,∵AF2=DF2+AD2,
∴(2﹣x)2=x2+x2,
解得x=﹣2+2或﹣2﹣2(舍棄),
∴DF=﹣2+2.
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【題目】如圖,已知△ABC三個頂點坐標分別是A(1,3),B(4,1),C(4,4).
(1)請按要求畫圖:①畫出△ABC向左平移5個單位長度后得到的△A1B1C1;
②畫出△ABC繞著原點O順時針旋轉90°后得到的△A2B2C2.
(2)請寫出直線B1C1與直線B2C2的交點坐標.
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【題目】如圖,△ABC是⊙O內(nèi)接三角形,∠ACB=45°,∠AOC=150°,過點C作⊙O切線交AB延長線于點D.
(1)求證:CD=CB;(2)如果⊙O的半徑為,求AC的長.
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【題目】如圖,在規(guī)格為8×8的邊長為1個單位的正方形網(wǎng)格中(每個小正方形的邊長為1),△ABC的三個頂點都在格點上,且直線m、n互相垂直.
(1)畫出△ABC關于直線n的對稱圖形△A′B′C′;
(2)直線m上存在一點P,使△APB的周長最。
①在直線m上作出該點P;(保留畫圖痕跡)
②△APB的周長的最小值為 .(直接寫出結果)
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【題目】如圖鋼架中,∠A=15°,現(xiàn)焊上與AP1等長的鋼條P1P2,P2P3…來加固鋼架,若最后一根鋼條與射線AB的焊接點P到A點的距離為4+2,則所有鋼條的總長為( 。
A.16B.15C.12D.10
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【題目】已知是等邊三角形,.
(1)如圖1,點在線段上從點出發(fā)沿射線以的速度運動,過點作交線段于點,同時點從點出發(fā)沿的延長線以的速度運動,連接、.設點的運動時間為秒.
①求證:是等邊三角形;
②當點不與點、重合時,求證:.
(2)如圖2,點為的中點,作直線,點為直線上一點,連接,將線段繞點逆時針旋轉得到,則點在直線上運動的過程中,的最小值是多少?請說明理由.
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【題目】已知:如圖,點P是等邊△ABC內(nèi)的一點,連接PA、PB、PC,以PB為邊作等邊△BPD,連接CD,若∠APB=150°,BD=6,CD=8,△APB的面積為( ).
A.48B.24C.12D.10
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【題目】如圖1,△ABC是邊長為4cm的等邊三角形,邊AB在射線OM上,且OA=6cm,點D從點O出發(fā),沿OM的方向以1cm/s的速度運動,當D不與點A重合時,將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE,連接DE.
(1)求證:△CDE是等邊三角形(下列圖形中任選其一進行證明);
(2)如圖2,當點D在射線OM上運動時,是否存在以D,E,B為頂點的三角形是直角三角形?若存在,求出運動時間t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】 在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,點M,N分別是邊AB,BC上的動點,△BMN與△B′MN關于直線MN對稱,點B的對稱點為B′.
(1)如圖1,當B′在邊AC上時,若∠CNB′=25°,求∠AMB′的度數(shù);
(2)如圖2,當∠BMB′=30°且CN=MN時,若CMBC=2,求△AMC的面積;
(3)如圖3,當M是AB邊上的中點,B′N交AC于點D,若B′N∥AB,求證:B′D=CN.
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