如圖,長方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中,使OA、OC分別落在x軸、y軸上,連結(jié)OB,將紙片OABC沿OB折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,A′B與y軸交于點(diǎn)F,且知OA=1,AB=2.
(1)分別求出OF的長度和點(diǎn)A′坐標(biāo);
(2)設(shè)過點(diǎn)B的雙曲線為:y=
k
x
(x>0),則k=
2
2
;
(3)直線A′C交雙曲線y=
k
x
于點(diǎn)P,求△OBP的面積是多少?
分析:(1)由圖形折疊的性質(zhì)可知△OAB≌△OA′B,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知OA′=OA,BA′=BA,∠OBA=∠OBA′,∠OA′B=∠OAB=90°,再由AB∥OC可知∠OBA=∠COB,∠COB=∠OBA′,故FB=FO,
設(shè)FB=FO=x,則A′F=2-x,在Rt△OA′F中,根據(jù)勾股定理可得出OF,A′F的長,過點(diǎn)A′作A′E⊥OC于點(diǎn)E,根據(jù)S△OA′F=
1
2
OA•A′F=
1
2
OF•A′E可得出A′E的長,同理,在Rt△OA′E中根據(jù)勾股定理可得出OE的長,故可得出點(diǎn)A′的坐標(biāo);
(2)由OA=1,AB=2可得出B點(diǎn)坐標(biāo),把B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例y=
k
x
即可求出k的值,故可得出其解析式;
(3)作直線A′C,根據(jù)OC=BA,BA′=BA可知OC=BA′,再由FB=FO可知FC=FA′,由等腰三角形的性質(zhì)可知∠FA′C=∠FCA′=
180°-∠A′FC
2
,同理,∠FOB=∠FBO=
180°-∠BFO
2
,故∠A′CF=∠FOB,A′C∥OB,△OPB的邊OB上的高和△OBC的邊OB上的高相等,再根據(jù)S△OBP=S△OBC=
1
2
OB•OC即可得出結(jié)論.
解答:解:(1)∵由折疊的性質(zhì)可知,△OAB≌△OA′B,
∴OA′=OA=1,BA′=BA=2,
∴∠OBA=∠OBA′,∠OA′B=∠OAB=90°,
∵AB∥OC,
∴∠OBA=∠COB,
∴∠COB=∠OBA′,
∴FB=FO,
設(shè)FB=FO=x,則A′F=2-x,
在Rt△OA′F中,OA′2+A′F2=OF2,即12+(2-x)2=x2,解得x=
5
4
,
∴OF=
5
4
,則A′F=
3
4
,過點(diǎn)A′作A′E⊥OC于點(diǎn)E,
S△OA′F=
1
2
OA•A′F=
1
2
OF•A′E=
1
2
×1×
3
4
=
1
2
×
5
4
×A′E,解得,A′E=
3
5
,
在Rt△OA′E中,OE2+A′E2=OA′2,即OE2+(
3
5
2=12,
解得,OE=
4
5
或OE=0(舍去),
∴A′(-
3
5
,
4
5
);

(2)∵OA=1,AB=2,
∴B(1,2),
∴2=
k
1
,即k=2
∴反比例函數(shù)的解析式為;y=
2
x
;

(3)作直線A′C,
∵OC=BA,BA′=BA,
∴OC=BA′,
∵FB=FO,
∴FC=FA′,
∴∠FA′C=∠FCA′=
180°-∠A′FC
2
,
同理,∠FOB=∠FBO=
180°-∠BFO
2
,
∴∠A′CF=∠FOB,
∴A′C∥OB,
∴△OPB的邊OB上的高和△OBC的邊OB上的高相等,
∴S△OBP=S△OBC=
1
2
OB•OC=
1
2
×1×2=1.
點(diǎn)評:本題考查的是反比例函數(shù)綜合題,涉及到用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式,圖形反折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

29、幾何計(jì)算
(1)如圖,OA⊥OC,OB⊥OD,若∠AOB=25°,求∠DOC的度數(shù).

(2)用邊長為10cm的正方形紙片在它的四角各剪去一個邊長為xcm的正方形,然后沿虛線折疊成一個無蓋的長方形盒子.
①列出表示這個長方形盒子容積的代數(shù)式.
②求當(dāng)x=1.5cm時(shí),長方形盒子的容積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,長方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中,使OA、OC分別落在x軸、y)軸上,連結(jié)OB,將紙片OABC沿OB折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,A′B與y軸交于點(diǎn)F,且知OA=1,AB=2.
(1)分別求出OF的長度和點(diǎn)A′坐標(biāo);
(2)設(shè)過點(diǎn)B的雙曲線為y=
kx
(x>0),則k=
2
2
;
(3)如果D為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn),且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,在x軸上求一點(diǎn)P,使PB+PD最。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,長方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中,使OA、OC分別落在x軸、y軸上,連結(jié)OB,將紙片OABC沿OB折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,A′B與y軸交于點(diǎn)F,且知OA=1,AB=2.
(1)分別求出OF的長度和點(diǎn)A′坐標(biāo);
(2)設(shè)過點(diǎn)B的雙曲線為:y=數(shù)學(xué)公式(x>0),則k=______;
(3)直線A′C交雙曲線y=數(shù)學(xué)公式于點(diǎn)P,求△OBP的面積是多少?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案