Question

如圖，在□ABCD中，AB=4，AD=6，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，BG=．

（1）求AE的長； （2）求ΔCEF的周長和面積．

 

Answer 1

（1）AE=4；（2）△CEF的周長=6，△CEF的面積=．

【解析】

試題分析：（1）由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得內(nèi)錯角∠DAE=∠BEA，等量代換后可證得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長；

（2）首先證明△ABE∽△FCE，再分別求出△ABE的周長和面積，然后根據(jù)相似比等于周長比，面積比等于相似比的平方即可得到答案．

試題解析：（1）∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE；

又∵AD∥BC，

∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，

∴AB=BE=4，

∵BG⊥AE，垂足為G，

∴AE=2AG．

在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=4，BG=2，

∴AG==2，

∴AE=2AG=4；

（2）∵BE=4，BC=AD=6，

∴CE=BC﹣BE=6﹣4=2，

∴BE：CE=4：2=2：1．

∵AB∥FC，

∴△ABE∽△FCE，

∴△ABE的周長：△CEF的周長=BE：CE=2：1，

△ABE的面積：△CEF的面積=（BE：CE）2=4：1，

∵AB=BE=4，AE=4，BG=2，

∴△ABE的周長=4+4+4=12，△ABE的面積=×4×2=4，

∴△CEF的周長=6，△CEF的面積=．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．