Question

在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)�，F(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖）。

（1）求邊OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；
（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的角度θ；
（3）設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）掃過(guò)的面積;
（2）連接AC
由MN//AC可得△BMN為等腰直角三角形
且AM=CN，可知△OAN≌△OCN
∴∠AOM=∠CPN=θ=；
（3）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD=AM
可證△AOM≌△COD
∴∠COD=∠AOM，而∠AOM+∠CON=45°
∴∠COD+∠CON=∠NOD=45°
可證△MON≌△DON
∴MN=CD+CN
∴=BM+BN+MN
             =BM+BN+CN+CD
             =BM+AM+BN+CN
             =AB+BC
             =4
∴P的值不發(fā)生變化。