Question

如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿B→D→A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q停止時(shí)，點(diǎn)P也隨之停止．過點(diǎn)P作PE∥BC，交AD于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）請用含t的代數(shù)式表示線段QD的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)Q重合時(shí)，求t的值；
（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在AD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以PE和EQ為邊作?PEQF，設(shè)?PEQF和△ACD重疊部分圖形的面積為s．
①求s與t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)?PEQF為菱形時(shí)，請直接寫出t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）本題分兩種情況來解答：①當(dāng)0＜t≤

3

2

時(shí)，點(diǎn)P在線段BD之間運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

3

2

＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在線段AD之間運(yùn)動(dòng)，得到結(jié)論．
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)Q重合時(shí)，AD=5，ED=2t-3，由△AEP∽△ADC可以求得t的值．
（3）求s與t的函數(shù)關(guān)系式分兩種情況來討論：①當(dāng)

3

2

≤t≤

32

13

時(shí)，?PEQF和△ACD重疊部分圖形的面積s就是平行四邊形PEQF的面積結(jié)合（1）（2）兩問求得EP和平行四邊形PEQF的高度可以得到答案．②當(dāng)

32

13

＜t≤4時(shí)，?PEQF和△ACD重疊部分圖形的面積s就是△AEP的面積減去△AQM的面積，據(jù)此可以得到答案．
當(dāng)?PEQF為菱形時(shí)，也分兩種情況：①當(dāng)

3

2

≤t≤

32

13

時(shí)，PE=EQ，即：

3t

4

=8-

13t

4

，可以求得t的值；②當(dāng)

32

13

＜t≤4時(shí)，PE=EQ，即：

3t

4

=

13t

4

-8，求得答案．

解答：解：（1）①當(dāng)0＜t≤

3

2

時(shí)，QD=BD-BP=3-2t；
②當(dāng)

3

2

＜t≤4時(shí)，QD=2t-3．
（2）∵∠C=90°，AC=4，且CD=3，
∴AD=5
∵PE∥BC，
∴△AEP∽△ADC，
∴

AP

AC

=

AE

AD

，
∴AE=

5

4

t．
∵QD=2t-3，
∴2t-3+

5

4

t=5，
解得∴t=

32

13

．
（3）①如圖①，當(dāng)

3

2

≤t≤

32

13

時(shí)，s=

3

4

t[4-t-

4

5

(2t-3)]=-

39

20

t2+

24

5

t；
如圖②，當(dāng)

32

13

＜t≤4時(shí)，s=

1

2

t•

3

4

t-

1

2

•

3

5

•

4

5

(8-2t)2=-

117

200

t2+

192

25

t-

384

25

．

②：①當(dāng)

3

2

≤t≤

32

13

時(shí)，
PE=EQ，
即：

3t

4

=8-

13t

4

，
解得：t=2；
②當(dāng)

32

13

＜t≤4時(shí)，
PE=EQ，即：

3t

4

=

13t

4

-8，
解得：t=

16

5

．

點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的及直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵要學(xué)會(huì)分類討論的思想．