Question

在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，F(xiàn)為BC上的中點(diǎn)，連接DE，EF，DF．
（1）求證：DF=EF；
（2）直接寫(xiě)出除直角三角形以外的所有相似三角形；
（3）在（2）中的相似三角形中選擇一對(duì)進(jìn)行證明．

Answer 1

分析：（1）由CD⊥AB，BE⊥AC得∠BEC=∠BDC=90°，而F為BC上的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）DC與BE交于P點(diǎn)，相似三角形有：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；
（3）易得△ABE∽△ACD，則

AB

AC

=

AE

AD

，加上∠DAE=∠CAB，所以△ADE∽△ACB．

解答：（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
而F為BC上的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

BC，DF=

1

2

BC，
∴DF=EF；

（2）解：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；

（3）△ADE∽△ACB．理由如下：
證明：∵∠ADC=∠AEB=90°，
而∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴

AB

AC

=

AE

AD

，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)．