Question

?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=10cm，AC=14cm．點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，且兩點(diǎn)都以1cm每秒的相同速度同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)E、F不與點(diǎn)O重合時(shí)，試證明四邊形DEBF為平行四邊形？
（2）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠EDF有可能為直角嗎？若有可能，請(qǐng)直接寫(xiě)出t值；若沒(méi)有可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得：AE=CF=tcm．
①如圖①，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在OA、OC上時(shí)．
∵在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
∴OE=OA-AE，OF=OC-CF，
∴OE=OF．
如圖②，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在OC、OA上時(shí)．
∵OE=AE-OA，OF=CF-OC，
∴OE=OF．
∵OE=OF，OB=OD，
∴四邊形DEBF為平行四邊形．

（2）當(dāng)t=2或t=12時(shí)，∠EDF為直角．
理由：由（1）知 OE=OF、OB=OD，要使∠EDF是直角，只需OE=OF=OD=BD=5cm．
則∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°
即∠EDF=90°．
此時(shí)AE=CF=（AC-EF）=（14-10）=2cm或AE=CF=14-2=12cm
所以t=2或t=12．
分析：（1）根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形證得四邊形DEBF為平行四邊形；
（2）由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證得OE=OF=OD=BD=5cm．然后由平行四邊形DEBF的對(duì)角線的性質(zhì)來(lái)求AE=CF的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．平行四邊形的對(duì)角線互相平分．