Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝4cm，點(diǎn)E為AC邊上一點(diǎn)，且AE＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x s．作∠EPF＝90°，與邊BC相交于點(diǎn)F．設(shè)BF長(zhǎng)為ycm．

（1）當(dāng)x＝ s時(shí)，EP＝PF；

（2）求在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路程的長(zhǎng)是 cm．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)x=1s時(shí)，EP=PF；（2）y=﹣x2+x；（3）點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路程是cm．

【解析】

（1）利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；

（2）利用相似三角形的性質(zhì)，即可解決問題；

（3）兩條二次函數(shù)的性質(zhì)，求出y的最大值即可解決問題；

（1）∵四邊形ABCD是正方形，∠EPF=90°，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠APE+∠AEP=90°，∵∠APE+∠BPF=90°，

∴∠BPF=∠AEP，∵EP=PF，

∴△AEP≌△BPF，

∴AE=PB=3，

∴AP=AB﹣PB=1，

∴當(dāng)x=1s時(shí)，EP=PF；

（2）∵∠EPF=90°，

∴∠EPA+∠BPF=90°

又∵∠EPA+∠AEP=90°，

∴∠AEP=∠BPF，

在△EAP與△PBF中，

∠AEP=∠BPF，∠EAP=∠PBF=90°，

∴△EAP∽△PBF，

∴=，即=，

∴y=﹣x2+x．

（3）∵y=﹣x2+x=﹣（x﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴y有最大值，最大值為，

∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路程是cm．