Question

這是一個(gè)很著名的故事：阿基米德與國(guó)王下棋，國(guó)王輸了，國(guó)王問(wèn)阿基米德要什么獎(jiǎng)賞？阿基米德對(duì)國(guó)王說(shuō)：“我只要在棋盤(pán)上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六�！�按這個(gè)方法放滿(mǎn)整個(gè)棋盤(pán)就行．”國(guó)王以為要不了多少糧食，就隨口答應(yīng)了，結(jié)果國(guó)王輸了．
（1）我們知道，國(guó)際象棋共有64個(gè)格子，則在第64格中應(yīng)放多少米？（用冪表示）
（2）請(qǐng)?zhí)骄康冢?）中的數(shù)的末位數(shù)字是多少？（簡(jiǎn)要寫(xiě)出探究過(guò)程．）
（3）你知道國(guó)王輸給了阿基米德多少粒米嗎？為解決這個(gè)問(wèn)題，我們先來(lái)看下面的解題過(guò)程：用分?jǐn)?shù)表示無(wú)限循環(huán)小數(shù)：．
解：設(shè)①．等式兩邊同時(shí)乘以10，得10x=②．
將②﹣①得：9x=2，
則．
∴請(qǐng)參照以上解法求出國(guó)王輸給阿基米德的米粒數(shù)（用冪的形式表示）

Answer 1

解：（1 ）第64 個(gè)格子，應(yīng)該底數(shù)是2 ，指數(shù)63 ，所以為2⁶³ ；
（2 ）∵2¹=2 ，2²=4 ，2³=8 ，2⁴=16 ，2⁵=32 …
∵63 ÷4=20 …3 ，
∴2⁶³ 的末位數(shù)字與2³ 的末位數(shù)字相同，是8 ；
（3 ）設(shè)x=1+2+2²+ …+2⁶³ ①．
等式兩邊同時(shí)乘以2 ，得2x=2+2²+2³+ …+2⁶⁴ ②
②- ①，得x=2⁶⁴-1 ．
答：國(guó)王輸給阿基米德的米粒數(shù)為2⁶⁴-1 ．