【題目】如圖,拋物線y=﹣(x﹣1)2+c與x軸交于A,B(A,B分別在y軸的左右兩側(cè))兩點(diǎn),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,已知A(﹣1,0).

(1)求點(diǎn)B,C的坐標(biāo);

(2)判斷CDB的形狀并說明理由;

(3)將COB沿x軸向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度(0<t<3)得到QPE.QPE與CDB重疊部分(如圖中陰影部分)面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.

【答案】解:(1)點(diǎn)A(﹣1,0)在拋物線y=﹣(x﹣1)2+c上,

0=﹣(﹣1﹣1)2+c,解得c=4。

拋物線解析式為:y=﹣(x﹣1)2+4。

令x=0,得y=3,C(0,3);

令y=0,得x=﹣1或x=3,B(3,0)。

(2)CDB為直角三角形。理由如下:

由拋物線解析式,得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4)

如答圖1所示,過點(diǎn)D作DMx軸于點(diǎn)M,

則OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2

過點(diǎn)C作CNDM于點(diǎn)N,

則CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1

在RtOBC中,由勾股定理得:;

在RtCND中,由勾股定理得:

在RtBMD中,由勾股定理得:。

BC2+CD2=BD2,根據(jù)勾股定理的逆定理,得CDB為直角三角形

(3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

B(3,0),C(0,3),,解得。

直線BC的解析式為y=﹣x+3。

直線QE是直線BC向右平移t個(gè)單位得到,

直線QE的解析式為:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t。

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+m,

B(3,0),D(1,4),,解得:。

直線BD的解析式為y=﹣2x+6。

連接CQ并延長(zhǎng),射線CQ交BD于點(diǎn)G,則G(,3)。

COB向右平移的過程中:

當(dāng)0<t≤時(shí),如答圖2所示:

設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.

設(shè)QE與BD的交點(diǎn)為F,

則:,解得,F(3﹣t,2t)。

S=SQPE﹣SPBK﹣SFBE

=PEPQ﹣PBPK﹣BEyF

=×3×3﹣(3﹣t)2﹣t2t=。當(dāng)<t<3時(shí),如答圖3所示

設(shè)PQ分別與BC、BD交于點(diǎn)K、點(diǎn)J

CQ=t,KQ=t,PK=PB=3﹣t。

直線BD解析式為y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t。J(t,6﹣2t)。

S=SPBJ﹣SPBK=PBPJ﹣PBPK=(3﹣t)(6﹣2t)﹣(3﹣t)2=t2﹣3t+

綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式為:S=。

【解析】

試題(1)首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后進(jìn)一步確定點(diǎn)B,C的坐標(biāo)。

(2)分別求出CDB三邊的長(zhǎng)度,利用勾股定理的逆定理判定CDB為直角三角形。

(3)COB沿x軸向右平移過程中,分兩個(gè)階段:

當(dāng)0<t≤時(shí),如答圖2所示,此時(shí)重疊部分為一個(gè)四邊形;

當(dāng)<t<3時(shí),如答圖3所示,此時(shí)重疊部分為一個(gè)三角形。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,A為∠MON內(nèi)部一定點(diǎn),點(diǎn)P、Q分別為射線OMON上的動(dòng)點(diǎn),若△APQ的周長(zhǎng)最小時(shí),∠PAQ40°,則∠MON_____

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1)求拋物線的表達(dá)式;

2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由;

3)點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Ex軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).

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(1)請(qǐng)直接寫出M的直徑,并求證BD平分∠ABO

(2)在線段BD的延長(zhǎng)線上尋找一點(diǎn)E,使得直線AE恰好與M相切,求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

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點(diǎn)坐標(biāo);

求二次函數(shù)的解析式;

根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值的的取值范圍.

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(參考數(shù)據(jù):sin34°=0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.67.)

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