Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得∠DEF＝120°．

(1)當點E是AB的中點時，線段DF的長度是________；

(2)若射線EF經(jīng)過點C，則AE的長是________．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)6 　　(2)2或5 　　分析：(1)過E點作EG⊥DF，由E是AB的中點，得出DG＝3，再根據(jù)∠DEG＝60°得出∠DEF＝120°，由tan60°＝即可求出GF的長，進而得出結(jié)論； 　　(2)過點B作BH⊥DC，延長AB至點M，過點C作CF⊥AB于F，則BH＝AD＝，再由銳角三角函數(shù)的定義求出CH及BC的長，設(shè)AE＝x，則BE＝6－x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的長，再判斷出△EDF∽△BCE，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出關(guān)于x的方程，求出x的值即可． 　　解答：解：(1)如下圖，過E點作EG⊥DF， 　　∵E是AB的中點， 　　∴DG＝3， 　　∴EG＝AD＝， 　　∴∠DEG＝60°， 　　∵∠DEF＝120°， 　　∴tan60°＝， 　　解得GF＝3， 　　∴DF＝6； 　　(2)如圖所示： 　　過點B作BH⊥DC，延長AB至點M，過點C作CF⊥AB于F，則BH＝AD＝， 　　∵∠ABC＝120°，AB∥CD， 　　∴∠BCH＝60°， 　　∴CH＝＝＝1，BC＝＝＝2， 　　設(shè)AE＝x，則BE＝6－x， 　　在Rt△ADE中，DE＝＝＝， 　　在Rt△EFM中，EF＝＝＝， 　　∵AB∥CD， 　　∴∠EFD＝∠BEC， 　　∵∠DEF＝∠B＝120°， 　　∴△EDF∽△BCE， 　　∴＝，即＝， 　　解得x＝2或5． 　　點評：本題考查了解直角梯形及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解．

提示：

直角梯形；勾股定理；解直角三角形．