Question

【題目】（1）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，若AB＝AC＝2，求DE的長；

（2）如圖，在（1）的條件下，連結(jié)AG、AF分別交DE于M、N兩點，求MN的長；

（3）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝BN＝2，∠BAC＝108°，若AM＝AN，請直接寫出MN的長．

Answer 1

【答案】（1）DE＝；（2）MN＝；（3）MN＝3﹣．

【解析】

（1）先利用勾股定理求出BC的長，然后證明△BGD和△EFC是等腰直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BG=FG=FC即可解決問題．

（2）利用平行線分線段成比例定理，構(gòu)建方程即可解決問題．

（3）證明BM=AM=AN，設(shè)MN=x，則AN=AM=BM=2-x．由△NAM∽△NBA，可得AN2=NMNB，構(gòu)建方程即可解決問題．

（1）解：∵AB＝AC＝2，∠A＝90°，

∴∠B＝∠C＝45°，BC＝，

∵四邊形DEFG是正方形，

∴DE＝DG＝GF＝EF，∠DGF＝∠EFG＝90°，

∴∠BGD＝∠CFE＝90°，

∴∠B＝∠BDG＝45°，∠C＝∠CEF＝45°，

∴BG＝DG， CF＝EF，

∴BG=FG=FC=DE，

∴DE＝BC＝．

（2）∵DE∥BC，

∴，

∴，

∴MN＝．

（3）∵AB＝AC，∠BAC＝108°，

∴∠B＝∠C＝36°，

∵BA＝NB，

∴∠ANB＝∠BAN＝72°，

∵AM＝AN，

∴∠AMN＝∠ANM＝72°，

∴∠B＝∠BAM＝∠MAN＝36°，

∴BM＝AM＝AN，設(shè)MN＝x，則AN＝AM＝BM＝2﹣x．

∵△NAM∽△NBA，

∴AN2＝NMNB，

∴（2﹣x）2＝2x，

∴x＝3﹣或3+（舍棄）

∴MN＝3﹣．