【題目】在平面直角坐標系中,對隔離直線給出如下定義:點是圖形上的任意一點,點是圖形上的任意一點,若存在直線滿足,則稱直線是圖形隔離直線,如圖,直線是函數(shù)的圖像與正方形的一條隔離直線”.

1)在直線①,②,③,④中,是圖函數(shù)的圖像與正方形隔離直線的為 .

2)如圖,第一象限的等腰直角三角形的兩腰分別與坐標軸平行,直角頂點的坐標是,⊙O的半徑為,是否存在與⊙O隔離直線?若存在,求出此隔離直線的表達式:若不存在,請說明理由;

3)正方形的一邊在軸上,其它三邊都在軸的左側(cè),點是此正方形的中心,若存在直線是函數(shù)的圖像與正方形隔離直線,請直接寫出的取值范圍.

【答案】(1)①④;(2);(3)

【解析】

(1)根據(jù)的“隔離直線”的定義即可解決問題;

(2)存在,連接,求得垂直且過的直接就是隔離直線,據(jù)此即可求解;

(3)分兩種情形正方形在x軸上方以及在x軸下方時,分別求出正方形的一個頂點在直線上時的t的值即可解決問題.

(1)根據(jù)的“隔離直線”的定義可知,是圖1函數(shù)的圖象與正方形OABC隔離直線;直線也是圖1函數(shù)的圖象與正方形OABC隔離直線;而不滿足圖1函數(shù)的圖象與正方形OABC隔離直線的條件;
故答案為:①④;

(2)存在,

理由如下:

連接,過點軸于點,如圖,

RtDGO中,,

∵⊙O的半徑為,
∴點D在⊙O上.
過點DDHODy軸于點H
∴直線DH是⊙O的切線,也是△EDF與⊙O的“隔離直線”.

設直線OD的解析式為,

將點D(2,1)的坐標代入得

解得:,

DHOD,

∴設直線DH的解析式為

將點D(2,1)的坐標代入得

解得:,

∴直線DH的解析式為

隔離直線的表達式為;

(3)如圖:

由題意點F的坐標為(),

當直線經(jīng)過點F時,,
,
∴直線,即圖中直線EF,
∵正方形A1B1C1D1的中心M(1,t),
過點y軸于點G,

∵點是正方形的中心,且,

B1C1,,

∴正方形A1B1C1D1的邊長為2,
時,

∴點C1的坐標是(),此時直線EF是函數(shù))的圖象與正方形A1B1C1D1的“隔離直線”,

∴點的坐標是(-1,2),

此時
當直線只有一個交點時,

,消去y得到,

,可得,
解得:

同理,此時點M的坐標為:()

,
根據(jù)圖象可知:

時,直線是函數(shù))的圖象與正方形A1B1C1D1的“隔離直線”.

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2)如圖2,連接,點為弧上一點,連接,=,過點,垂足為點,求證:;

3)如圖3,在(2)的條件下,點上一點,分別連接,,過點,交⊙于點,,,連接,求的長.

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