Question

下面有三個(gè)命題：①五邊形至少有兩個(gè)鈍角，②十二邊形共有54條對(duì)角線，③內(nèi)角和等于外角和的多邊形的邊數(shù)為4．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：①五邊形內(nèi)角和為540度，五個(gè)角平分，一個(gè)角為108度，可以都為鈍角．又因外角和為360度，所以5個(gè)外角中不能有4個(gè)或5個(gè)鈍角，外角中至多有3個(gè)鈍角，即內(nèi)角中最多有3個(gè)銳角，至少有2個(gè)鈍角．
②多邊形有n條邊，則經(jīng)過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線有（n-3）條，n邊形共有 條對(duì)角線，根據(jù)以上關(guān)系直接計(jì)算即可．
③多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的360°，從而可根據(jù)外角和等于內(nèi)角和列方程求解．
解答：解：①∵五邊形外角和為360度，
∴5個(gè)外角中不能有4個(gè)或5個(gè)鈍角，外角中至多有3個(gè)鈍角，即內(nèi)角中最多有3個(gè)銳角，至少有2個(gè)鈍角．
故五邊形至少有兩個(gè)鈍角是正確的；
②十二邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出12-3=9條對(duì)角線，所有對(duì)角線的條數(shù)有 =54條．
故十二邊形共有54條對(duì)角線是正確的；
③設(shè)所求n邊形邊數(shù)為n，
則360°=（n-2）•180°，
解得n=4．
故內(nèi)角和等于外角和的多邊形的邊數(shù)為4是正確的．
故正確命題的個(gè)數(shù)為3．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想．關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征，多邊形的邊數(shù)與對(duì)角線的關(guān)系式是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．