Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的高．

（1）求證：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC=4，BC=3，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°．

∴∠A+∠ACD=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠DCB+∠ACD=90°．

∴∠A=∠DCB．

又∵∠ACB=∠BDC=90°，

∴△ABC∽△CBD

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∴CD= ，

∵CD⊥AB，

∴BD= = =

【解析】（1）根據(jù)直角三角形的銳角關(guān)系可證得∠A=∠DCB，再由∠ACB=∠BDC=90°，可證明結(jié)論.
（2）在Rt△ABC中由勾股定理可求得AB的長，再由三角形的面積公式可求得CD的長，再在Rt△BCD中由勾股定理可求得BD的長.
【考點(diǎn)精析】利用三角形的內(nèi)角和外角和勾股定理的概念對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．