【題目】如圖1,⊙OAB是直徑,C⊙O上一點,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE∠DCE是直角,點D在線段AC上.

1)證明:B、C、E三點共線;

2)若M是線段BE的中點,N是線段AD的中點,證明:MN=OM;

3)將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)αα90°)后,記為△D1CE1(圖2),若M1是線段BE1的中點,N1是線段AD1的中點,M1N1=OM1是否成立?若是,請證明;若不是,說明理由.

【答案】1)證明:∵AB是直徑,

∴∠BCA=90°,

而等腰直角三角形DCE∠DCE是直角,

∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°,

∴B、CE三點共線;

2)連接BDAE,ON,延長BDAEF,如圖,

∵CB=CA,CD=CE,

∴Rt△BCD≌Rt△ACE

∴BD=AE,∠EBD=∠CAE,

∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE,

∵M是線段BE的中點,N是線段AD的中點,而OAB的中點,

∴ON=BD,OM=AE,ON∥BD,AE∥OM;

∴ON=OM,ON⊥OM,即△ONM為等腰直角三角形,

∴MN=OM;

3)成立.理由如下:

和(2)一樣,易證得Rt△BCD1≌Rt△ACE1,同里可證BD1⊥AE1△ON1M1為等腰直角三角形,

從而有M1N1=OM1

【解析】略

練習冊系列答案
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證明:∵AD⊥BCD,EG⊥BCG( 已知

∴∠ADC=90°,∠EGC=90°___________

∴∠ADC=∠EGC(等量代換

∴AD∥EG_____________

∴∠1=∠2___________

∠E=∠3___________

∵∠E=∠1( 已知

∴∠2=∠3___________

∴AD平分∠BAC___________

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