Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=10厘米，OC=6厘米，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從O，A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P在線段OA上沿OA方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AB上沿AB方向作勻速運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1厘米/秒．
（1）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為0.5厘米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
①當(dāng)△CPQ的面積最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②當(dāng)△COP和△PAQ相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為a厘米/秒，問(wèn)是否存在a的值，使得△OCP與△PAQ和△CBQ這兩個(gè)三角形都相似？若存在，請(qǐng)求出a的值，并寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)闊o(wú)法直接求△CPQ的面積，只好用梯形的面積減去兩個(gè)三角形的面積，得到關(guān)于t的二次函數(shù)，求最小值就可以了，從而得到t的值，就可求出Q的坐標(biāo)．利用三角形的相似，可以得到比例線段，求出t的值，就可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）利用三角形的相似，得到比例線段，解關(guān)于a、t的二元一次方程即可，那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)就可求．
解答：解：（1）①先設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t時(shí)，△CPQ面積最小．
S_△CPQ=S_梯形QCOA-S_△COP-S_△APQ=（AQ+OC）×OA-AP•AQ-OC•OP
=（0.5t+6）×10-×0.5t×（10-t）-×6×t
=（t-6）²+21
∵a=＞0，
∴當(dāng)t=6時(shí)，S_△CPQ有最小值，
那么AQ=0.5t=0.5×6=3，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（10，3）．
②△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP兩種情況：
（i）當(dāng)△COP∽△PAQ時(shí)：
∴=，
∴=，
即t²-7t=0，
解得，t₁=0（不合題意，舍去），t₂=7．
∴t=7，
∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5．
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（10，3.5）．

（ii）當(dāng)△COP∽△QAP時(shí)：
=，
∴=，
即t²+12t-120=0
解得：t₁=-6+2，t₂=-6-2（不合題意，舍去）
∴AQ=0.5t=-3+．
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（10，-3+）；

（2）∵△COP∽△PAQ∽△CBQ，
∴，
即，
解得，t₁=2，t₂=18，
又∵0＜t＜10，
∴t=2．代入任何一個(gè)式子，可求a=．
∴AQ=at=
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（10，）．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了梯形、三角形的面積公式，相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵要會(huì)用含t的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)，還用到了二次函數(shù)求最小值的知識(shí)（當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)有最小值），矩形的性質(zhì)以及路程等于速度乘以時(shí)間等知識(shí)．