Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是線段AD上的任意一點(diǎn)（E與A，D不重合），G，F，H分別是BE，BC，CE的中點(diǎn).

（1）證明四邊形EGFH是平行四邊形；（2）若EF⊥BC，且EF=BC，證明平行四邊形EGFH是正方形

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形

（2）見解析

【解析】

（1）通過中位線定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）當(dāng)添加了條件EF⊥BC，且EF=BC后，通過對(duì)角線相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可證明是正方形．

證明：（1）∵G，F分別是BE，BC的中點(diǎn)，
∴GF∥EC且GF=EC．
又∵H是EC的中點(diǎn)，EH=EC，
∴GF∥EH且GF=EH．
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）連接GH，EF．

∵G，H分別是BE，EC的中點(diǎn)，
∴GH∥BC且GH=BC．
又∵EF⊥BC且EF=BC，
又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位線，
∴GH∥BC，
∴EF⊥GH，
又∵EF=GH．
∴平行四邊形EGFH是正方形．