Question

如圖：一正方形紙片，根據(jù)要求進(jìn)行多次分割，把它分割成若干個(gè)直角三角形．具體操作過(guò)程如下：
第一次分割：將正方形紙片分成4個(gè)全等的直角三角形；第二次分割：將上次得到的直角三角形中的一個(gè)再分成4個(gè)全等的直角三角形；以后按第二次分割的方法重復(fù)進(jìn)行．

（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)出兩種符合題意的分割方案（分割3次）；
（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，請(qǐng)你通過(guò)對(duì)其中一種方案的操作和觀察，將第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面積S填入下表：

（3）在條件（2）下，請(qǐng)你猜想：分割所得的最小直角三角形面積S與分割次數(shù)n有什么關(guān)系？用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來(lái)．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)和中位線定理進(jìn)行分割解答；
（2）利用每一次分割后的面積是所分割圖形面積的四分之一解答；
（3）運(yùn)用（2）的幾個(gè)數(shù)值發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律．

解答：解：（1）如下三種分割方案：


（2）由正方形的面積a²得分割后所得的最小的直角三角形的面積：


（3）當(dāng)分割次數(shù)為1時(shí)，S=

1

4

a²；
當(dāng)分割次數(shù)為2時(shí)，S=

1

16

a²；
當(dāng)分割次數(shù)為3時(shí)，S=

1

64

a²；
…
當(dāng)分割次數(shù)為n時(shí)，Sn=

1

4n

a2（n≥1，且n為正整數(shù)）．

點(diǎn)評(píng)：解答此題主要運(yùn)用正方形的性質(zhì)及三角形中位線定理來(lái)解決．