【題目】如圖,在矩形ABCD中,BC=20 cm,點(diǎn)P,Q,M,N分別從點(diǎn)A,B,C,D出發(fā)沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng),當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí),四個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)均停止.已知在相同時(shí)間內(nèi),若BQ=x cm(x≠0),則AP=2x cm,CM=3x cm,DN=x2 cm.

(1)當(dāng)x為何值時(shí),以PQ,MN為兩邊,以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊能構(gòu)成一個(gè)三角形?

(2)當(dāng)x為何值時(shí),以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?

【答案】(1)-1;(2)當(dāng)x=2或4時(shí),以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

【解析】

1)以PQMN為兩邊,以矩形的邊(ADBC)的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形的必須條件是點(diǎn)PN重合且點(diǎn)Q、M不重合此時(shí)AP+ND=AD2x+x2=20cm,BQ+MCBCx+3x20cm;或者點(diǎn)Q、M重合且點(diǎn)PN不重合,此時(shí)AP+NDAD2x+x220cmBQ+MC=BCx+3x=20cm.所以可以根據(jù)這兩種情況來(lái)求解x的值.

2)以P,QM,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的話(huà),因?yàn)橛傻谝粏?wèn)可知點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè).當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí),AP=MC,BQ=ND當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí),AN=MCBQ=PD.所以可以根據(jù)這些條件列出方程,解方程即可

1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí),PQMN為兩邊,以矩形的邊(ADBC)的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形.

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí),x2+2x=20x1=1,x2=﹣1(舍去).

因?yàn)?/span>BQ+CM=x+3x=4120此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合.

所以x=1符合題意.

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí),x+3x=20x=5

此時(shí)DN=x2=2520,不符合題意.

故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合.

所以所求x的值為1

2)由(1)知,點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè),

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí),

20﹣(x+3x)=20﹣(2x+x2),

解得x1=0(舍去),x2=2

當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形.

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí),

20﹣(x+3x)=(2x+x2)﹣20,

解得x1=﹣10(舍去)x2=4

當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形.

所以當(dāng)x=2x=4時(shí),P,QM,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1a (用含x的代數(shù)式表示);

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2

3

4

5

3

8

15

24

4

6

8

10

5

10

17

26

由表可知,當(dāng)時(shí),,,;

當(dāng)時(shí),,,;

………

1)當(dāng)時(shí),________,_________,________.

2)請(qǐng)你分別觀(guān)察,之間的關(guān)系,并分別用含有的代數(shù)式表示 ,.

________,_________________.

3)猜想以,為邊的三角形是否為直角三角形,并說(shuō)明理由.

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