Question

如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC=60°．將一把直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，其中∠OMN=30°．
（1）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數(shù)；
（2）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第

 

秒時(shí)，邊MN恰好與射線OC平行；在第

 

秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC．（直接寫出結(jié)果）；
（3）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄俊螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠BOC=120°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠COM，然后根據(jù)∠CON=∠COM+90°解答；
（2）分別分兩種情況根據(jù)平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)角，然后除以旋轉(zhuǎn)速度即可得解；
（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解．

解答：解：（1）∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠COM=

1

2

∠BOC=60°，
∴∠CON=∠COM+90°=150°；

（2）∵∠OMN=30°，
∴∠N=90°-30°=60°，
∵∠AOC=60°，
∴當(dāng)ON在直線AB上時(shí)，MN∥OC，
旋轉(zhuǎn)角為90°或270°，
∵每秒順時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°，
∴時(shí)間為9或27，
直線ON恰好平分銳角∠AOC時(shí)，
旋轉(zhuǎn)角為90°+30°=120°或270°+30°=300°，
∵每秒順時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°，
∴時(shí)間為12或30；
故答案為：9或27；12或30．

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AON=90°-∠AOM，
∠AON=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°，
故∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系為：∠AOM-∠NOC=30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，讀懂題目信息并熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）要分情況討論．